SCUT - 485 - 质因数计数 - 原根

Posted 2022-07-02 yinku

https://scut.online/p/485

给定a和n，求有多少个质数p，满足n是使得a^n=1 mod p成立的最小正整数。

翻译：求有多少个质数p，使得a模p的阶delta_m(a)是n

先验证 a^n=1 mod p 成立

那么假如还有更小的m使得 a^m=1 mod p 成立，则这个p不合要求

由阶的性质有delta_m(a)|n，故只需要检查n的所有因子就可以了。

但其实不需要检查所有因子，只需要检查n的所有质因子。（从板子上面可以看出来，但是为什么）

即 a^(p_i) = 1 mod p 是否成立，假如恒不成立，则n是a模p的阶，其中p_i是n的每种质因子。

证明如下：很显然的，原本我们要检查n的所有因子才能确定阶，但是有一个更好的办法。

假如还有更小的m使得 a^m=1 mod p 成立，那么m的倍数km也一定满足 a^(km)=1 mod p 成立，那么从n中只去除一个质因子p_i，假如这个t=(n/p_i)有 a^t=1 mod p ，则可能存在更小的m使得 a^m=1 mod p 成立。否则假如 a^t != 1 mod p ，则t的所有因子也都不需要检查了。

这样就只需要检查log次。