LeetCode Lect7 堆及其应用

Posted 2022-07-01 pdev

概述

堆是一颗完全二叉树。分为大根堆（父节点>=所有的子节点）和小根堆（父节点<=所有的子节点）。

插入、删除堆顶都是O(logN)，查询最值是O(1)。

 

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完全二叉树(Complete Binary Tree)

若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有N个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

若一棵二叉树至多只有最下面的两层上的结点的度数可以小于2，并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则此二叉树成为完全二叉树。

完全二叉树的特性：对于结点t，t/2为它的父节点，2*t、2*t+1为它的子节点。所以可以直接用一个线性的数组存放堆。

 

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堆的基本操作：（以小根堆为例）

1.堆元素上移：和自己的父节点比较，若满足条件则交换。再次比较。

void up(int x)

    int p,q;
    p=x;
    while (p/2>=1)
    
        q=p/2;
        if (a[q]>a[p])
            swap(&a[p],&a[q]);
        else
            break;
        p=q;
    

2.堆元素下移：和自己的子节点中更满足条件（更大or更小）的一个比较，若满足条件则交换。再次比较。

void down(int x)

    int p,q;
    p=x;
    while (p*2<=n)
    
        q=2*p;
        if ((a[q+1]<a[q])&&(q+1<=n)) q++;       
        if (a[q]<a[p])
            swap(&a[q],&a[p]);
        else
            break;
        p=q;
    

3.建堆：

    cin>>n;
    for (i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    for (i=n/2;i>=1;i--)      //1
        down(i);

注：对1处语句的解释：
1.    a[(n/2)+1]----a[n]的元素都是堆上的叶子节点，无需down(i)操作。
2.    倒序循环是因为，对于一个节点i，只有等它的子节点都完成了down操作之后，才可以对它进行操作。即保证循环到i时，i+1、i+2、…..、n都是一个最大\最小堆的根。

4.删除元素（删除堆顶的最值元素）

用堆最末端（二叉树的最右下角）的元素替换堆顶元素，n--，然后对其进行down(i)操作

 

5.添加元素

将元素添加到堆的最末端（二叉树的最右下角），n++，然后对其进行up(i)操作

 

6. 删除任意一个点（事先要保证堆中没有重复元素）

首先在堆中找到该元素的位置（可以提前用hashmap记录）

用堆最末端（二叉树的最右下角）的元素替换要删除的元素，n--。然后对其进行up(i)或者down(i)操作，根据元素的大小而定。

 

注意：一个已从小到大排好序的数组是一个小根堆，但一个小根堆数组里面的元素不一定排好序   (source:算法导论P153    Exercise6.1-5、6.1-6)

 

 

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题目

https://www.jiuzhang.com/solution/heapify/

 

基于 Siftup 的版本    O(NlogN)

 

 

public class Solution 
    /**
     * @param A: Given an integer array
     * @return: void
     */
    private void siftup(int[] A, int k) 
        while (k != 0) 
            int father = (k - 1) / 2;
            if (A[k] > A[father]) 
                break;
            
            int temp = A[k];
            A[k] = A[father];
            A[father] = temp;
            
            k = father;
        
    
    
    public void heapify(int[] A) 
        for (int i = 0; i < A.length; i++) 
            siftup(A, i);
        
    

 

算法思路：
    对于每个元素A[i]，比较A[i]和它的父亲结点的大小，如果小于父亲结点，则与父亲结点交换。
    交换后再和新的父亲比较，重复上述操作，直至该点的值大于父亲。

时间复杂度分析
    对于每个元素都要遍历一遍，这部分是 O(n)。
    每处理一个元素时，最多需要向根部方向交换 logn 次。

因此总的时间复杂度是 O(nlogn)

 

 

 

基于 Siftdown 的版本    O(N)

public class Solution 
    /**
     * @param A: Given an integer array
     * @return: void
     */
    private void siftdown(int[] A, int k) 
        while (k * 2 + 1 < A.length) 
            int son = k * 2 + 1;   // A[i] 的左儿子下标。
            if (k * 2 + 2 < A.length && A[son] > A[k * 2 + 2])
                son = k * 2 + 2;     // 选择两个儿子中较小的。
            if (A[son] >= A[k])      
                break;
            
            int temp = A[son];
            A[son] = A[k];
            A[k] = temp;
            k = son;
        
    
    
    public void heapify(int[] A) 
        for (int i = (A.length - 1) / 2; i >= 0; i--) 
            siftdown(A, i);
        
    

算法思路：
    初始选择最接近叶子的一个父结点，与其两个儿子中较小的一个比较，若大于儿子，则与儿子交换。
    交换后再与新的儿子比较并交换，直至没有儿子。
    再选择较浅深度的父亲结点，重复上述步骤。

时间复杂度分析
这个版本的算法，乍一看也是 O(nlogn)， 但是我们仔细分析一下，算法从第 n/2 个数开始，倒过来进行 siftdown。也就是说，相当于从 heap 的倒数第二层开始进行 siftdown 操作，倒数第二层的节点大约有 n/4 个， 这 n/4 个数，最多 siftdown 1次就到底了，所以这一层的时间复杂度耗费是 O(n/4)，然后倒数第三层差不多 n/8 个点，最多 siftdown 2次就到底了。所以这里的耗费是 O(n/8 * 2), 倒数第4层是 O(n/16 * 3)，倒数第5层是 O(n/32 * 4) ... 因此累加所有的时间复杂度耗费为：

T(n) = O(n/4) + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) ...

然后我们用 2T - T 得到：

2 * T(n) = O(n/2) + O(n/4 * 2) + O(n/8 * 3) + O(n/16 * 4) ...
T(n)      = O(n/4)     + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) ...

2 * T(n) - T(n) = O(n/2) +O (n/4) + O(n/8) + ...
                       = O(n/2 + n/4 + n/8 + ... )
                       = O(n)

因此得到 T(n) = 2 * T(n) - T(n) = O(n)

 

 

 

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堆的应用：

1. 堆排序

原理：对输入数据建堆，然后每次输出堆顶元素，然后删除堆顶元素。循环n次即可输出完排序好的n个数。

      从小到大排序选小根堆，从大到小排序选大根堆。

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 int a[1000];
 4 int n,i,tx;
 5 
 6 void swap(int *a,int *b)
 7 
 8     int tmp;
 9     tmp=*a;
10     *a=*b;
11     *b=tmp;
12 
13 
14 void down(int x)
15 
16     int p,q;
17     p=x;
18     while (p*2<=n)
19     
20         q=2*p;
21         if ((a[q+1]<a[q])&&(q+1<=n)) q++;
22         if (a[q]<a[p])
23             swap(&a[q],&a[p]);
24         else
25             break;
26         p=q;
27     
28 
29 
30 int main()
31 
32     cin>>n;
33     for (i=1;i<=n;i++)
34         cin>>a[i];
35         
36     for (i=n/2;i>=1;i--)
37         down(i);
38 
39     tx=n;
40     for (i=1;i<=tx;i++)
41     
42         cout<<a[1]<<"  ";
43         a[1]=a[n];
44         n--;
45         down(1);
46     
47     cout<<endl;
48 

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补充：STL里的堆操作

首先，需要#include <algorithm>

STL里支持4种堆操作：

void  make_heap(start_pointer，end_pointer，comp)

在指定范围的数组上建堆

void  pop_heap(start_pointer，end_pointer，comp)

删除堆顶元素，然后重建堆

void  push_heap(start_pointer，end_pointer，comp)

假设数组区间a[start]……a[end-1]已经是一个堆，然后将a[end]作为要入堆的新元素加进去，使得a[start]……a[end]是一个堆

void  sort_heap(start_pointer，end_pointer，comp)

假设数组区间a[start]……a[end-1]已经是一个堆，然后对其中的序列进行排序（排序后就不是一个有效堆了>_<）

注释：start_pointer、end_pointer分别表示起始位置、终止位置的指针

（调用方法示例：make_heap(&number[0],&number[12],cmp); ）

cmp为比较函数（若不指定，默认建大根堆）

 

Sample from MSDN_1996：

Program Output is:（大根堆）

Original array:

Numbers 4 10 70 10 30 69 96 100 

After calling make_heap

Numbers 100 30 96 10 4 69 70 10 

After calling sort_heap

Numbers 4 10 10 30 69 70 96 100 

After calling push_heap and make_heap: (事先加入了一个新元素7)

Numbers 100 69 96 30 4 70 10 10 7  

After calling pop_heap

Numbers 96 69 70 30 4 7 10 10  100     (此时100已不再属于堆)

 

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 using namespace std;
 4 
 5 bool comp(int a,int b)    //用于建小根堆的比较函数
 6 
 7     return a>b;
 8 
 9 
10 int main()
11 
12     int i;
13     int a[10]=0,30,96,10,4,69,70,10,100;
14     //a[1..8]
15     for (i=1;i<=8;i++)
16         cout<<a[i]<<" ";
17     cout<<endl;
18     //输出原数组：30 96 10 4 69 70 10 100
19     make_heap(&a[1],&a[9]);   //注意：必须多留一个空，我也不知道为什么… >_<
20     for (i=1;i<=8;i++)         //比如说，对a[1…8]操作就得写成(&a[1],&a[9])
21         cout<<a[i]<<" ";       //我知道为什么啦：^_^
22     cout<<endl;   //在C语言中，数组a[1..8]这一区段的开头是a[1]，但结尾是a[9]
23                    //而STL中要求调用的就是数组开头和结尾，所以要多一位。
24                    //比如说有long a[1000]，那么数组区段其实是a[0..999]
25 //(因为C是从0开始计),而数组结尾就是a[1000]，尽管a[1000]实际上无意义。
26     //输出大根堆[1..8]：100 96 70 30 69 10 10 4
27     make_heap(&a[1],&a[9],comp);
28     for (i=1;i<=8;i++)
29         cout<<a[i]<<" ";
30     cout<<endl;
31     //输出小根堆[1..8]：4 30 10 96 9 10 70 100
32     a[9]=8;
33     push_heap(&a[1],&a[10],comp);
34     for (i=1;i<=9;i++)
35         cout<<a[i]<<" ";
36     cout<<endl;    
37     //a[1..9]
38     //插入一个元素8，然后输出小根堆[1..9]：4 8 10 30 69 10 70 100 96
39     pop_heap(&a[1],&a[10],comp);
40     for (i=1;i<=9;i++)
41         cout<<a[i]<<" ";
42     cout<<endl;
43     //a[1..8]
44 //删除堆顶元素4，然后输出小根堆[1..8]：8 30 10 96 69 10 70 100 4
45 //(4在堆外，已经不是堆里面的元素了)
46 

View Code

总结：堆相关题目的核心算法

Solution：根据要求建堆，然后取堆顶作为答案输出，然后由堆顶下一步扩展出新元素再次入堆

 

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题目：

POJ2442

采用以下算法都可以实现在m个数中取前n小的数：

快速排序：最慢     手写堆：快     用STL堆：目测还能再快一点

另外注意一个问题：过大的数组也会影响运行速度

渣渣表示这种水题竟然写了三种版本才过….. >_<

Ver1.0:用快排，最好想的算法

   本来算法就不快，空间复杂度O(n*n)又太大，也影响速度。

   设目前已经处理到了第i列，那么将第i列中的元素与第i+1列中的元素分别相加，得到了n*n个元素。将这些元素记录到一个数组中，快排取前n小的n个数，并记录到数组heap[1..n]中。再用heap数组中的元素与第i+2列操作，……直到处理完m列输出heap数组即可。

这么渣渣的算法当然TLE啦……→_→

Ver2.0:用手动堆

参考http://blog.csdn.net/c0de4fun/article/details/7312831

算法快了不少，空间复杂度也降到了O(n)

  不过我写的貌似有问题……WA了

Ver3.0:直接用STL堆操作

        STL支持四种堆操作：新元素入堆、弹出堆顶、建堆、排序。(见 堆及其应用.docx)

        首先还和刚才一样，把第一行排序后记录到a[1..n]数组中，第二行排序后记录到b[1..n]数组中。

        然后，为了节省空间，我们不能再简单的将a[1..n]、b[1..n]分别相加了，而是这样：

        因为b[1]一定是b[1..n]里最小的，所以先将a[1..n]+b[1]得到的这n个元素加入一个大根堆heap。然后再a[1..n]+b[2..n]分别相加，而对于这n(n-1)个元素，判断如果a[k]*b[j]小于堆顶元素heap[1]，则弹出堆顶，然后将a[k]*b[j]加入堆。处理完这一行之后将heap中的n个元素从小到大记录到数组a中，再将下一行读入b[1..n]中。以此类推，直到m行处理完。

        AC！^_^

 

POJ2051

一次AC！    ^_^

题真心不难。

首先将所有的进程读入，记录period[i]为Q_num为i的进程的周期，tm[i]为Q_num为i的进程已经运行过的次数（初始都为1）。

构造一个小根堆记录进程heap[i]=period[j]*tm[j]。一开始将所有的进程都入堆。然后取堆顶元素输出，并将堆顶元素的tm[j]++，之后再将period[j]*tm[j]再次入堆并调整。这样输出k次即可。

注意：如果在堆的调整中需要比较多个关键字(比如本题中Q_num和发生时间都是关键字)，那么STL就不能用了，只能手写T^T……方法类比双关键字快速排序即可

 

---恢复内容结束---