[Lucas定理][组合] Bzoj P4403 序列统计

Posted 2022-07-01 comfortable

Description

给定三个正整数N、L和R，统计长度在1到N之间，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。输出答案对10^6+3取模的结果。

 

题解

• 我们要求长度为n的元素在[1..r-l+1]中的单调不下降序列的数量
• 考虑将第i个元素加上i-1，那么每个合法序列就会对应一个长度为n，元素为[1..n+m-1]中的单调递增的序列数量
• 显然两者是一一对应的，那么就只用统计后面的贡献
• 那么就是在n+m-1个元素中选n个，就是C(n+m-1,n)
• 所以答案就是C(m,n+m)-1，然后用lucas定理算这个东东就好了

 

代码

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #define ll long long
 4 using namespace std;
 5 const ll mo=1e6+3;
 6 ll n,l,r,T,ans,mul[mo],inv[mo];
 7 ll C(ll n,ll m)  return m>n?0:mul[n]*inv[mul[m]]%mo*inv[mul[n-m]]%mo; 
 8 ll lucas(ll n,ll m)  return !m?1:(C(n%mo,m%mo)*lucas(n/mo,m/mo)%mo)%mo; 
 9 int main()
10 
11     mul[1]=mul[0]=1; for (int i=2;i<=mo;i++) mul[i]=i*mul[i-1]%mo;
12     inv[1]=inv[0]=1; for (int i=2;i<=mo;i++) inv[i]=(mo-mo/i)*inv[mo%i]%mo;
13     for (scanf("%lld",&T);T;T--) scanf("%lld%lld%lld",&n,&l,&r),ans=((lucas(r-l+1+n,r-l+1)-1)%mo+mo)%mo,printf("%lld\n",ans);
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