Hankson 的趣味题

Posted 2022-06-30 accpted

题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整数 x 满足：
1． x 和 a0 的最大公约数是 a1；
2． x 和 b0 的最小公倍数是 b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且n≤2000

输出

输出共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；
若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

样例输入

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

样例输出

6
2

 

首先，我们知道这两个等式：gcd(a0,x)=a1,lcm[b0,x]=b1

于是，我们可以设：x=a1∗p,b1=x∗t

于是有：a1∗p∗t=b1

所以我们令：b1/a1=s

则：p∗t=s

即：t=s/p

又由最大公约数与最小公倍数的定义与性质可得：

gcd(a0/a1,p)=1,gcd(b1/b0,t)=1

所以我们令：a0/a1=m,b1/b0=n

则有：(p,m)=1,(s/p,n)=1

这就是第一个结论，我们称其为结论一。事实上，我们其实已经可以由结论一整理出可以AC的方法，即用sqrt(s)的复杂度枚举s的因数，然后将每个因数放到结论一中，看看是否成立，再统计所有符合结论一的因数的个数，然后输出即可。这种算法的复杂度是：O(sqrt(s)*log(s)*n)。这样其实也能卡过数据，但是还是没有达到理论上的通过。所以我们还要继续优化。

我们考虑(s/p,n)=1。如果s/p与n有相同质因数，则意思那个无法使(s/p,n)=1成立。于是，我们可以将s与n所有相同的质因数从s中去掉，得到剩余的数l（这一点还是很需要技巧的，在程序中会有解析）。于是，s/p就必须是l的约数。

我们继续考虑(p,m)=1。因为s/p是l的约数，那么p就一定可以表示为这样的形式：

p=(s/l)∗r

即：p一定是s/l的倍数（因为s/p是l的约数）。而r也必须是l的约数。于是就又有：

r∣l,(r,m)=1

这就是第二个结论，我们称其为结论二。而解决结论二的方法便很明显了。我们可以用与解决结论一相似的方法，将l与m所有相同的质因数从l中去掉，得到剩余的数q。那么这样，所有符合条件的r都是q的因数了。然后，我们可以用sqrt(q)的复杂度枚举q的所有因数，输出q的因数个数就行了。这样，复杂度便降到了：O((sqrt(s)+log(s))*n)，从理论来说也不会超时了。

还有一点需要注意，那就是特判没有符合要求的x的情况。这种情况出现只有四种可能：

1、s不为整数

2、m不为整数

3、n不为整数

4、(s/l,m)≠1，即因为p是s/l的倍数，所以无论r取何值，都会有(p,m)≠1

加上这四个特判，这道题便做完了。

总结一下，这道题，代码虽不长，但是思路需要很精细，也难想到，是一道不错的题。

 

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
ll a0,a1,b0,b1,ans,m;
int main()

    int _;
    scanf("%d",&_);
    while (_--)
    
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&a0,&a1,&b0,&b1);
        if (a0%a1||b1%b0||b1%a1)
        
            printf("0\\n");
            continue;
        
        if (a0==a1&&a1==b1&&b0==b1)
        
            printf("1\\n");
            continue;
        
        ans=0;
        m=sqrt(b1);
        for (ll i=1; i*i<=b1; i++)
        
            if (b1%i==0)
            
                if (i%a1==0&&__gcd(i/a1,a0/a1)==1&&__gcd(b1/b0,b1/i)==1)
                
                    ans++;
                
                int j=b1/i;
                if (j==i)
                
                    continue;
                
                if (j%a1==0&&__gcd(j/a1,a0/a1)==1&__gcd(b1/b0,b1/j)==1)
                
                    ans++;
                
            
        
        printf("%lld\\n",ans);
    
    return 0;




#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
int ssqrt;
int cf(int a,int b)//去掉a中与b共有的质因数。思想：将b质因数分解，同时将a中与b共有的质因数去掉。

    ssqrt=sqrt(b);
    for(int i=2; i<=ssqrt; i++) //sqrt(b)复杂度质因数分解b
    
        if(b%i==0)
            while(a%i==0)
                a/=i;//去掉a中与b共有的质因数，将a分解
        while(b%i==0)
            b/=i;//将b质因数分解
    
    if(b!=1)
        while(a%b==0)
            a/=b;//注意：此时b可能还不是1，因为b可能有比sqrt(b)更大的质因数，但至多只有一个，且它的次幂至多是1。所以如果b不是1，那就只能是一个质数。于是此时继续分解a。
    return a;//返回剩下的a

int gcd(int a,int b)

    return b==0?a:gcd(b,a%b);   //辗转相除求最大公约数

int main()

    int a0,a1,b0,b1;
    int gs;
    int m,n,s,l,q;
    scanf("%d",&gs);
    int cnt;
    while(gs--)
    
        scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
        if(a0%a1|b1%b0|b1%a1)
        
            printf("0\\n");    //如果m、n、s中有小数，则直接输出0。这里的代码用到了一些位运算
            continue;
        
        m=a0/a1,n=b1/b0,s=b1/a1;
        l=cf(s,n);//求出m、n、s，然后求出l
        if(gcd(max(s/l,m),min(s/l,m))!=1)
        
            printf("0\\n");    //如果不互质，则直接输出0
            continue;
        
        q=cf(l,m);
        cnt=0,ssqrt=sqrt(q);//求出q，开始枚举q的因数，求出q的因数个数
        for(int i=1; i<=ssqrt; i++)
            if(q%i==0)
                cnt+=i==q/i?1:2;//这里注意，如果i==q/i，则只加1，否则加2
        printf("%d\\n",cnt);//输出
    
    return 0;