树链剖分小结

Posted 2022-06-30 jz929

什么是树链剖分

树链剖分，计算机术语，指一种对树进行划分的算法，它先通过轻重边剖分将树分为多条链，保证每个点属于且只属于一条链，然后再通过数据结构（树状数组、\(BST\)、\(SPLAY\)、线段树等）来维护每一条链。——百度百科

树链剖分就是维护轻、重链，然后用其他数据结构来维护。（一般用树状数组或线段树）

概念

重儿子：所有儿子中siz最大的结点

轻儿子：除了重儿子以外的儿子
（强调：一个节点出了重儿子以外的点都是轻儿子）

重边：与重儿子连成的边

轻边：与轻儿子连成的边

重链：由多条重边连接而成的路径

轻链：由多条轻边连接而成的路径（一般都只有一条）

设的变量

\(fa[x]\)，\(x\)的父亲
\(dep[x]\)，\(x\)的深度
\(siz[x]\)，\(x\)的子树大小
\(son[x]\)，\(x\)的重儿子
\(dfn[x]\)，\(x\)的新的编号（做\(dfs\)的顺序）
\(top[x]\)，\(x\)所在的重链的顶端节点
（强调：我们可以保证每个节点都在也只在一条重链里）
\(rk[x]\)，\(dfn[]\)为\(x\)的在树中的节点

步骤

一般是两遍\(dfs\)。

第一遍：求出\(fa[],dep[],siz[],son[]\)

void dfs(int x)

    dep[x] = dep[fa[x]] + 1, siz[x] = 1;
    for (int p = tail[x], v; p; p = e[p].fr)
    
        v = e[p].v; fa[v] = x;
        dfs(v), siz[x] += siz[v];
        if (siz[v] > siz[son[x]]) son[x] = v;
    

第二遍：求出\(dfn[],top[],rk[]\)

void dfs1(int x, int fat)

    dfn[x] = ++tot; rk[tot] = x; top[x] = fat;
    if (! son[x]) return;
    dfs1(son[x], fat);
    for (int p = tail[x], v; p; p = e[p].fr)
    
        v = e[p].v;
        if (v == son[x]) continue;
        dfs1(v, v);
    

我们之所以先\(dfs\)重儿子，是因为我们要保证一条重链上每个节点的\(dfn[]\)是连续的。
这便于我们用数据结构维护。
有时可以不用求\(rk[]\)。

时间复杂度

可以证明，为O(nlog^2n)

例题：

[ZJOI2008]树的统计
[NOI2015]软件包管理器
[SDOI2011]染色
[SHOI2012]魔法树
[HAOI2015]树上操作
[HEOI2016/TJOI2016]树