树链剖分小结

Posted jz929

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了树链剖分小结相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

什么是树链剖分

树链剖分,计算机术语,指一种对树进行划分的算法,它先通过轻重边剖分将树分为多条链,保证每个点属于且只属于一条链,然后再通过数据结构(树状数组、\(BST\)\(SPLAY\)、线段树等)来维护每一条链。——百度百科

树链剖分就是维护轻、重链,然后用其他数据结构来维护。(一般用树状数组或线段树)

概念

重儿子:所有儿子中siz最大的结点

轻儿子:除了重儿子以外的儿子
(强调:一个节点出了重儿子以外的点都是轻儿子)

重边:与重儿子连成的边

轻边:与轻儿子连成的边

重链:由多条重边连接而成的路径

轻链:由多条轻边连接而成的路径(一般都只有一条)

设的变量

\(fa[x]\)\(x\)的父亲
\(dep[x]\)\(x\)的深度
\(siz[x]\)\(x\)的子树大小
\(son[x]\)\(x\)的重儿子
\(dfn[x]\)\(x\)的新的编号(做\(dfs\)的顺序)
\(top[x]\)\(x\)所在的重链的顶端节点
(强调:我们可以保证每个节点都在也只在一条重链里)
\(rk[x]\)\(dfn[]\)\(x\)的在树中的节点

步骤

一般是两遍\(dfs\)

第一遍:求出\(fa[],dep[],siz[],son[]\)

void dfs(int x)

    dep[x] = dep[fa[x]] + 1, siz[x] = 1;
    for (int p = tail[x], v; p; p = e[p].fr)
    
        v = e[p].v; fa[v] = x;
        dfs(v), siz[x] += siz[v];
        if (siz[v] > siz[son[x]]) son[x] = v;
    

第二遍:求出\(dfn[],top[],rk[]\)

void dfs1(int x, int fat)

    dfn[x] = ++tot; rk[tot] = x; top[x] = fat;
    if (! son[x]) return;
    dfs1(son[x], fat);
    for (int p = tail[x], v; p; p = e[p].fr)
    
        v = e[p].v;
        if (v == son[x]) continue;
        dfs1(v, v);
    

我们之所以先\(dfs\)重儿子,是因为我们要保证一条重链上每个节点的\(dfn[]\)是连续的。
这便于我们用数据结构维护。
有时可以不用求\(rk[]\)

时间复杂度

可以证明,为O(nlog^2n)

例题:

[ZJOI2008]树的统计
[NOI2015]软件包管理器
[SDOI2011]染色
[SHOI2012]魔法树
[HAOI2015]树上操作
[HEOI2016/TJOI2016]树

以上是关于树链剖分小结的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

树链剖分小结

树链剖分详解

树链剖分 入门

树链剖分

树链剖分(轻/重链剖分学习笔记)

树链剖分详解