AtCoderP137F Folynomial Consruction

Posted 2022-06-29 sillytiet

数论

由于p是素数，考虑到费马小定理:

\[ a^p-1 \equiv 1 (mod p) \]

而再观察，函数\(f(x)\)要求的值都是0或1
那么，将费马小定理变一下:

\[ (x-i)^p-1 \equiv 1 (mod p)(x \neq i) \]

\[ (x-i)^p-1 \equiv 0 (mod p)(x = i) \]

我们定义一个p-1次多项式\(g(x)=b_0+b_1 \times x+b_2 \times x^2+...+b_p-1 \times x^p-1\)，且该多项式初始值为0
那么，对于一个\(A_i\)，若\(A_i=1\),我们可以在\(g(x)\)中加上\(1-(x-i)^p-1\)。因为根据上述式子，我们可以得知在模p下，当且仅当x=i时，\(1-(x-i)^p-1\)的值才为1，否则都为0。也就是说，\(1-(x-i)^p-1\)只会影响x=i的情况（将其值变为1）。
然后在多项式展开就行了。
代码(注意负数取模):

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int n,A[10100],cnt[10010],ans[10100],C[3000][3000];
    void init()
        C[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            C[i][0]=1;
            for(int j=1;j<=i;j++)
                C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%n;
            
        
    
    int main()
        scanf("%d",&n);
        init();
        for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&A[i]);
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(A[i]==1)cnt[i]++,ans[0]++;
        
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(cnt[i]==0)continue;
            for(int j=0,po=1;j<n;j++)
                int res=C[n-1][j]*po;
                res%=n;
                if(res<0)
                    int tmp=abs(res);
                    res=(n-tmp%n)%n;
                
                else res=res%n;
                ans[n-1-j]=(ans[n-1-j]+n-res)%n;
                po=po*(-i);
                if(po<0)
                    int tmp=abs(po);
                    po=(n-tmp%n)%n;
                
                else po=po%n;
            
        
        for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",ans[i]);
        return 0;