浅谈LCT

Posted 2022-06-28 chandery

目录

• 几个概念
• Auxiliary Tree(辅助树)
• 维护什么？
  • 接下来我们来了解如何实现lct
• lct中的Splay
• 核心操作：access(x)
  • Code
• makeroot(x)操作
  • Code：
• findroot(x)操作
  • Code
• Link(x,y)操作
  • Code：
• Cut(x,y)操作
  • Code：
• 应用：
• Exanple

@

动态树问题, ，近几年在OI中兴起的一种新型问题，是一类要求维护一个有根树森林，支持对树的分割,
合并等操作的问题。由RobertE.Tarjan为首的科学家们提出解决算法Link-Cut Trees，简称lct。

本段摘自百度
要学lct，首先必要的基础必须有：

• 树链剖分（点这里）
• Splay（点这里）

有了这些基础，我们就可以开始学习lct。

几个概念

• Preferred Child：偏好儿子
• Preferred Edge：偏好边
• Preferred Path：偏好路径

这几个概念跟树链剖分中的重儿子、重边和重链相似。唯一不同的地方就是树链剖分的重儿子、重边和重链是定的，而lct的是不定的，也就是说是没有限制的。

Auxiliary Tree(辅助树)

其实整棵lct就是又很多个散的splay tree由一些虚边连接而成的，而这些Splay tree就叫做辅助树，在程序实现的时候我们无需实现整棵lct，只需要维护所有Splay tree就好啦。
在lct里的Splay是以深度为键值建的，就是说深度浅的一定在深度深的左边。

维护什么？

• son[0~1] 表示每个节点的两个儿子
• pf表示每个节点的虚边连向的位置（当然不一定每个节点都有）
• fath 表示每个节点在Splay tree 上的父亲

其实大体上和Splay需要维护的东西不差多少，就多了一个虚边pf，这也是lct比较关键的部分。

接下来我们来了解如何实现lct

lct中的Splay

朴素的Splay操作相信大家已经了解，那在lct中我们需要做什么额外的工作吗？

void rotate(int x)
    int y=t[x].fa,k=get(x);
    if(t[y].fa) t[t[y].fa].son[get(y)]=x;
    if(t[x].son[!k]) t[t[x].son[!k]].fa=y;
    t[y].son[k]=t[x].son[!k],t[x].fa=t[y].fa,t[y].fa=x,t[x].son[!k]=y;
    update(y),update(x),t[x].pf=t[y].pf;

rotate操作需要加上最后一句话，使得每次旋转的时候虚边都可以传递。

核心操作：access(x)

access(x)表示把从x这个点到根的路径上的点全部打成实边，并断掉下面所有的实边。

这个图应该比较形象，毕竟是杨哲集训队作业里的。
实现比较简洁明了：

Code

void access(int x)
    for (int y=0;x;update(x),y=x,x=t[x].pf)
        splay(x,0);
        t[t[x].son[1]].fa=0,t[t[x].son[1]].pf=x;
        t[x].son[1]=y,t[y].fa=x,t[y].pf=0;
    

每次把右儿子断开，然后连上刚刚做过的那一个点。

makeroot(x)操作

这个操作的目的就是把x变成这个lct的根。
这里用到Splay中的一个操作：翻转操作
我们首先access(x),使得它到根的路径上变到同一棵Splay上面。
此时x一定是这个Splay上最右边的点，然后就把它旋到根，做一个翻转，这样它就成为了最左边的点，也就是深度最小的点，也就是根。
实现极其简单：

Code：

void make(int x)
    swap(t[x].son[0],t[x].son[1]);
    t[x].tag^=1;

void makeroot(int x)
    access(x),splay(x,0);
    make(x);

findroot(x)操作

这是用来判断两点是否在同一个连通块上的利器，就像并查集的getfather操作一样，这个实现更简单。首先我们access(x)，这样就可以使得他和根在同一Splay上，然后直接找到Splay最左边的那个点就是了。
实现同样及其简短：

Code

int findroot(int x)

    access(x),splay(x,0);
    for (;t[x].son[0];x=t[x].son[0]);
    return x;

Link(x,y)操作

使得x，y在lct上连接起来。
首先让x变成根，这样它就没有虚边指向的地方了。
直接上代码，太简短：

Code：

void link(int x,int y)
    makeroot(x);
    if(findroot(y)!=x) t[x].pf=y;

Cut(x,y)操作

切断x，y之间的连边。
一样是首先让x变成根，然后access(y)，Splay(y,0)如果他们之间有连边那么x一定是y的儿子，直接断开。

Code：

void cut(int x,int y)
    makeroot(x),access(y),splay(y,0);
    if(t[x].fa==y) t[y].son[get(x)]=t[x].fa=t[x].pf=0;

应用：

待博主更新...

Exanple

P3690 【模板】Link Cut Tree （动态树）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define maxn 300010
using namespace std;
struct Moon
    int pf,fa,son[2],key,sum,tag;
t[maxn]; 
int n,m,kind,d[maxn];
void make(int x)
    swap(t[x].son[0],t[x].son[1]);
    t[x].tag^=1;

void update(int x)
    t[x].sum=t[t[x].son[0]].sum^t[t[x].son[1]].sum^t[x].key;

void clear(int x)
    if(t[x].tag)
        make(t[x].son[0]),make(t[x].son[1]);
        t[x].tag=0;
    

void remove(int x,int y)
    for (d[0]=0;x!=y;x=t[x].fa) d[++d[0]]=x;
    for (int i=d[0];i>=1;--i) clear(d[i]);

int get(int x)
    return t[t[x].fa].son[1]==x;

void rotate(int x)
    int y=t[x].fa,k=get(x);
    if(t[y].fa) t[t[y].fa].son[get(y)]=x;
    if(t[x].son[!k]) t[t[x].son[!k]].fa=y;
    t[y].son[k]=t[x].son[!k],t[x].fa=t[y].fa,t[y].fa=x,t[x].son[!k]=y;
    update(y),update(x),t[x].pf=t[y].pf;

void splay(int x,int y)
    remove(x,y);
    while(t[x].fa!=y)
        if(t[t[x].fa].fa!=y)
            if(get(x)==get(t[x].fa)) rotate(t[x].fa);
            else rotate(x);
        rotate(x);
    

void access(int x)
    for (int y=0;x;update(x),y=x,x=t[x].pf)
        splay(x,0);
        t[t[x].son[1]].fa=0,t[t[x].son[1]].pf=x;
        t[x].son[1]=y,t[y].fa=x,t[y].pf=0;
    

int findroot(int x)

    access(x),splay(x,0);
    for (;t[x].son[0];x=t[x].son[0]);
    return x;

void makeroot(int x)
    access(x),splay(x,0);
    make(x);

int query(int x,int y)
    makeroot(x),access(y);
    splay(y,0);return t[y].sum;

void link(int x,int y)
    makeroot(x);
    if(findroot(y)!=x) t[x].pf=y;

void cut(int x,int y)
    makeroot(x),access(y),splay(y,0);
    if(t[x].fa==y) t[y].son[get(x)]=t[x].fa=t[x].pf=0;

void change(int x,int y)
    splay(x,0);
    t[x].key=y,update(x);

int main()
    int i,x,y;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&t[i].key);
    while(m--)
        scanf("%d%d%d",&kind,&x,&y);
        if(kind==0)printf("%d\n",query(x,y));
        if(kind==1)link(x,y);
        if(kind==2)cut(x,y);
        if(kind==3)change(x,y);
    
 

P3203 [HNOI2010]弹飞绵羊

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define maxn 200010
#define min(x,y) (((x)<(y))?(x):(y))
using namespace std;
struct Moon
    int pf,fa,son[2],key,size,tag;
t[maxn]; 
int n,m,kind,d[maxn];
int get(int x)
    return t[t[x].fa].son[1]==x;

void update(int x)
    t[0].size=0;
    t[x].size=t[t[x].son[0]].size+t[t[x].son[1]].size+1;

void rotate(int x)
    int y=t[x].fa,k=get(x);
    if(t[y].fa) t[t[y].fa].son[get(y)]=x;
    if(t[x].son[!k]) t[t[x].son[!k]].fa=y;
    t[y].son[k]=t[x].son[!k],t[x].fa=t[y].fa,t[y].fa=x,t[x].son[!k]=y;
    update(y),update(x),t[x].pf=t[y].pf;

void change(int x)
    swap(t[x].son[0],t[x].son[1]);
    t[x].tag^=1;

void clear(int x)
    if(t[x].tag)
        change(t[x].son[0]),change(t[x].son[1]);
        t[x].tag=0;
    

void remove(int x,int y)
    for (d[0]=0;x!=y;x=t[x].fa) d[++d[0]]=x;
    for (int i=d[0];i>=1;--i) clear(d[i]);

void splay(int x,int y)
    remove(x,y);
    while(t[x].fa!=y)
        if(t[t[x].fa].fa!=y)
            if(get(x)==get(t[x].fa)) rotate(t[x].fa);
            else rotate(x);
        rotate(x);
    

void access(int x)
    for (int y=0;x;update(x),y=x,x=t[x].pf)
        splay(x,0);
        t[t[x].son[1]].fa=0,t[t[x].son[1]].pf=x;
        t[x].son[1]=y,t[y].fa=x,t[y].pf=0;
    

void makeroot(int x)
    access(x),splay(x,0);
    change(x);

int query(int x)
    makeroot(n+1),access(x);
    splay(x,0);
    return t[x].size-1;

void cut(int x,int y)
    makeroot(x);
    access(y);
    splay(y,0);
    t[y].son[get(x)]=t[x].fa=t[x].pf=0;

void link(int x,int y)
    makeroot(x),t[x].pf=y;

int main()
    scanf("%d",&n);
    int i,j,x,y;
    for (i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&t[i].key);
        link(i,min(n+1,i+t[i].key));
    
    scanf("%d",&m);
    while(m--)
        scanf("%d",&kind);
        if(kind==1)
            scanf("%d",&x);++x;
            printf("%d\n",query(x));
        
        if(kind==2)
            scanf("%d%d",&x,&y);x++;
            cut(x,min(n+1,x+t[x].key));
            t[x].key=y;
            link(x,min(n+1,x+t[x].key));
        
    

【NOIP2018模拟A组9.25】到不了

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define maxn 100010
#define maxm 100010
#define maxq 100010
using namespace std;
int n,m,q,tot;
int root[maxm],d[maxn];
struct Moon
    int pf,fa,son[2],tag;
t[maxn];
int fa[maxn];
void make(int x)
    swap(t[x].son[0],t[x].son[1]);
    t[x].tag^=1;

void clear(int x)
    if(t[x].tag)
        make(t[x].son[0]),make(t[x].son[1]);
        t[x].tag=0;
    

void remove(int x,int y)
    for (d[0]=0;x!=y;x=t[x].fa) d[++d[0]]=x;
    for (int i=d[0];i>=1;--i) clear(d[i]);

int get(int x)
    return t[t[x].fa].son[1]==x;

void rotate(int x)
    int y=t[x].fa,k=get(x);
    if(t[y].fa) t[t[y].fa].son[get(y)]=x;
    if(t[x].son[!k]) t[t[x].son[!k]].fa=y;
    t[y].son[k]=t[x].son[!k],t[x].fa=t[y].fa,t[y].fa=x,t[x].son[!k]=y;
    t[x].pf=t[y].pf;

void splay(int x,int y)
    remove(x,y);
    while(t[x].fa!=y)
        if(t[t[x].fa].fa!=y)
            if(get(x)==get(t[x].fa)) rotate(t[x].fa);
            else rotate(x);
        rotate(x);
    

int access(int x)
    int z;
    for (int y=0;x;y=x,x=t[x].pf)
        splay(x,0);
        t[t[x].son[1]].fa=0,t[t[x].son[1]].pf=x;
        t[x].son[1]=y,t[y].fa=x,t[y].pf=0,z=x;
    
    return z;

int Get(int x)
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=Get(fa[x]);

void makeroot(int x)
    access(x);
    splay(x,0);
    make(x);

void link(int x,int y)
    makeroot(y);
    int xx=Get(x),yy=Get(y);
    if(xx!=yy) fa[xx]=yy,t[y].pf=x;

int findans(int x,int y)
    if(Get(x)!=Get(y)) return -1;
    int q=access(y);
    int p=access(x);
    return p;

int main()
    freopen("arrival.in","r",stdin);
    freopen("arrival.out","w",stdout);
    scanf("%d %d",&n,&m);
    int i,j,x,y,kind,ans;
    for (i=1;i<=m;++i) scanf("%d",&root[i]);
    for (i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
    for (i=1;i<=n-m;++i)
        scanf("%d %d",&x,&y);
        link(x,y);
    
    for (i=1;i<=m;++i) makeroot(root[i]);
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
        scanf("%d%d%d",&kind,&x,&y);
        if(kind==1)
            if(Get(x)!=Get(y))link(x,y);
        
        else
            ans=findans(x,y);
            if(ans==-1) printf("orzorz\n");
            else printf("%d\n",ans);