欧几里得&扩展欧几里得算法

Posted 2022-06-28 chandery

朴素的欧几里得算法大家应该知道

\(gcd(a,b)\)表示a,b的最大公约数
朴素的欧几里得算法其实就是所谓的辗转相除法

• 辗转相除法
  \(gcd(a,b)=gcd(b,a\) \(mod\) \(b)\)
  证明如下：
  \(设r=a\) \(mod\) \(b\) \(=a-\lfloor\fracab\rfloor*b\),\(p=gcd(a,b)\);
  则\[a=xp,b=yp\]
  代入可得\[r=xp-\lfloor\fracxpyp\rfloor*yp\]
  提公因式得\[r=p(x-\lfloor\fracxpyp\rfloor*y)\]
  所以\[p|r\]
  即\[a,b的最大公约数也是r的约数\]
  设\(p`=gcd(b,r)\)
  则\[b=x`p`,r=y`p`\]
  \[a=r+\lfloor\fracab\rfloor*b\]
  代入得\[a=y`p`+\lfloor\fracab\rfloor*x`p`\]
  提公因式\[a=p`(y`+\lfloor\fracab\rfloor*x`)\]
  所以\[p`|a\]
  得出结论：a,b与b,a mod b的公约数相同，所以最大公约数也相同
  得证；

  Code：

int gcd(int a,int b) 

    if(!b) return a; 
    else return gcd(b,a%b);

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法就是在朴素的欧几里得算法上求一组未知数(x,y)的解，满足贝祖定理:\(ax+by=gcd(a,b)\)

• 公式的推导
  当且仅当\(a>b\)
  ①\(b=0\) 则\(x=1,y=0\)
  ②\(a>b>0\)
  设\(ax1+by1=gcd(a,b);bx2+(a\) \(mod\) \(b)y2=gcd(b,a\) \(mod\) \(b)\)
  由朴素欧几里得算法得：\(gcd(a,b)=gcd(b,a\) \(mod\) \(b)\)
  所以\(ax1+by1=bx2+(a\) \(mod\) \(b)y2\)
  即\(ax1+by1=bx2+(a-\lfloor\fracab\rfloor*b)y2\)
  化简得：\(ax1+by1=bx2+ay2-\lfloor\fracab\rfloor*b*y2\)
  由贝祖等式得\(\left\\beginarray\\x1=y2\\y1=x2-\lfloor\fracab\rfloor*b \endarray\right.\)
  ##Code:

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 

    if(b==0) 
    
        x=1;y=0;
        return a;
    
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;
    x=y;y=z-a/b*y;
    return r;

扩展欧几里得应用

①解不定方程
②解线性同余方程
③求模的逆元

1.解形如ax+by=c的不定方程

用扩展欧几里得算法求出解\(ax`+by`=gcd(a,b)\)
再分别乘上\(\fraccgcd(a,b)\)
当\(c\) \(mod\) \(gcd(a,b)\neq0\)时无解

2.解形如\(ax\equiv b(mod\) \(m)\)的线性同余方程

即\[ax-my=b\]
\[ax+m(-y)=b\]
得出：
\[ax+my=b\]
同上解除即可。

3.求\(ax\equiv1(mod\) \(m)\)

由上式子可得\(x\equiv \frac1a (mod\) \(m)\)
所以 x是a的逆元
同②得：\(ax+my=1\)
解出x即可.