AcWing325计算机

Posted 2022-06-28 shl-blog

Description

给定一棵树，求每一个点能到达的最远的距离是多少

Solution

树形dp

我们利用“二次扫描与换根法”的思想，首先假定1节点为根，然后在这棵有根树上进行一次dp，求出从每一个节点出发在其子树内最远和次远距离，记为sum1,sum2

我们在定义ans[i]表示在当前这棵有根树的情况下，从i出发，到非其子树节点的最远距离是多少，那么这个点的答案就是$max\ans[i], sum1[i]\$

然后我们考虑“换根”

假定当前节点父亲的ans已经正确求出，那么对于当前节点，有这么几种情况：

1. 其父亲的sum1不经过当前节点，那么当前节点的ans就是其父亲sum1+当前节点与父亲的距离与父亲ans+当前节点与父亲的距离的最大值
2. 其父亲的sum1经过当前节点，那么当前节点的ans就是其父亲sum2+当前节点与父亲的距离与父亲ans+当前节点与父亲的距离的最大值

我们对这棵树进行两次dfs，即可完成dp

时间复杂度为$O(n)$

Code

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn = 10010;
 4 int n;
 5 struct node 
 6     int nxt, to, dis;
 7  a[maxn << 1];
 8 int head[maxn], num;
 9 inline void add(int from, int to, int dis) 
10     a[++num].nxt = head[from];
11     a[num].to = to;
12     a[num].dis = dis;
13     head[from] = num;
14 
15 int sum1[maxn], sum2[maxn], ans[maxn];
16 int dfs(int now, int fa) 
17     for (register int i = head[now]; i; i = a[i].nxt) 
18         int to = a[i].to;
19         if (to == fa) continue ;
20         sum2[now] = max(sum2[now], dfs(to, now) + a[i].dis);
21         if (sum2[now] > sum1[now]) swap(sum2[now], sum1[now]);
22     
23     return sum1[now];
24 
25 void dp(int now, int fa) 
26     for (register int i = head[now]; i; i = a[i].nxt) 
27         int to = a[i].to;
28         if (to == fa) continue ;
29         if (sum1[to] + a[i].dis == sum1[now]) 
30             ans[to] = max(sum2[now] + a[i].dis, a[i].dis + ans[now]);
31         
32         else 
33             ans[to] = max(sum1[now] + a[i].dis, a[i].dis + ans[now]);
34         
35         dp(to, now);
36     
37 
38 int main() 
39     while (~scanf("%d", &n)) 
40         num = 0;
41         memset(head, 0, sizeof(head));
42         for (register int i = 2; i <= n; ++i) 
43             int x, v;
44             scanf("%d%d", &x, &v);
45             add(i, x, v); add(x, i, v);
46         
47         memset(sum1, 0, sizeof(sum1));
48         memset(sum2, 0, sizeof(sum2));
49         memset(ans, 0, sizeof(ans));
50         dfs(1, 1);
51         dp(1, 1);
52         for (register int i = 1; i <= n; ++i) 
53             printf("%d\n", max(ans[i], sum1[i]));
54     
55     return 0;
56 

AC Code