P4161 [SCOI2009]游戏 素数筛 + 背包DP

Posted 2022-06-28 paranoid-ls

题目描述

windy学会了一种游戏。

对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。

最开始windy把数字按顺序 1，2，3，……? ，N写一排在纸上。

然后再在这一排下面写上它们对应的数字。

然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。

如此反复，直到序列再次变为 \(1，2，3，……，N\) 。

如： 1 2 3 4 5 6?

对应的关系为

1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6?

windy的操作如下

1 2 3 4 5 6

2 3 1 5 4 6

3 1 2 4 5 6

1 2 3 5 4 6

2 3 1 4 5 6

3 1 2 5 4 6

1 2 3 4 5 6

这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。

现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。

输入格式

一个整数，N。

输出格式

一个整数，可能的排数。

输入输出样例

输入 #1

3

输出 #1

3

输入 #2

10

输出 #2

16

说明/提示

30%的数据，满足 \(1 <= N <= 10\) 。

100%的数据，满足 \(1 <= N <= 1000\) 。

题解

题目中的对应转化关系相当于置换。

而题目中所求的排数是这个置换中所有环大小的最小公倍数。

问题转化为求 和为 n 的多个数 有多少种可能的最小公倍数。

显然所有数都表示为 \(p^k\) 的形式下最优。

线性筛质数。

$f [i] [j] $表示考虑到第 i 个质数， 前面总和为 j 的最小公倍数方案数。

\(f [i] [j] = \sum_k^f[i-1][j-p_i^k]\)

同背包问题。可转化为一维。

时间复杂度\(O(n^2)\), 空间复杂度\(O(n^2)\)

code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e3 + 5;
int read() 
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while(! isdigit(ch)) f = (ch=='-')?-1:1, ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) x = (x<<3)+(x<<1)+(ch^48), ch = getchar();
    return x * f;

int n, pri[N], cnt;
LL f[N], ans;
bool vis[N];
void Prime() 
    vis[0] = vis[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= N;i ++) 
        if(vis[i] == 0) pri[++ cnt] = i;
        for(int j = 1;j <= cnt&&i * pri[j] <= N;j ++) 
            vis[i * pri[j]] = 1;
            if(i % pri[j] == 0) break;
        
    

int main() 
    Prime();
    if((n = read()) == 1)  printf("1\n"); return 0; 
    f[0] = 1;
    for(int pos = 1;pos <= cnt;pos ++) 
        for(int j = n;j >= pri[pos];j --) 
            int tmp = pri[pos];
            while(tmp <= j) f[j] += f[j - tmp]， tmp *= pri[pos];
        
    
    for(int i = 1;i <= n;i ++) ans += f[i];
    printf("%lld\n", ans + 1);
    return 0;