UVa1635Irrelevant Elements - 唯一分解定理

Posted 2022-06-27 lrj124

题意

给你 \(n\) 个数，每次求出相邻两个数的和组成新数列。经过 \(n-1\) 次操作后，得到一个数。求这个数 \(mod \ m\) 与哪些项无关。
如：当 \(m=2 \ , \ n=2\) 时 \(a_1 \ , \ a_2 , a_3 \Rightarrow a_1+a_2 \ , \ a_2+a_3 \Rightarrow \ a_1+2a_2+a_3\) 则与 \(a_2\) 无关

思路

由二项式定理知道结果系数是杨辉三角的第 \(n-1\) 行，问题转换成判断有多少个 \(C_n-1^i\) 可以整除 \(m\)。
考虑 \(m\) 与 \(C_n-1^i\) 的唯一分解，\(\prod_i=1^n fac_i^index_i\) 与 \(C_n-1^i\) 作比较，当所有的质因子都在 \(C_n-1^i\) 中出现并且次数都小于 \(C_n-1^i\) 的次数时，即可整除。
分解 \(C_n^i\) 时需要用到组合数的递推式：\(C_n^i=\fracn-i+1i \times C_n^i-1\)。分解时只考虑 \(\fracn-i+1i\)，因为 \(C_n^i-1\) 在上一次中计算过了。

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*Author        :  lrj124
*Created Time  :  2019.08.09.21:03
*Mail          :  [e-mail]
*Problem       :  uva1635
************************************************/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100000 + 10;
int n,m,m_index[maxn],factor[maxn],cnt,c_index[maxn],ans[maxn];
inline void init() 
    for (int i = 2;i*i <= m;i++)
        if (!(m%i)) 
            factor[++cnt] = i;
            for (;!(m%i);m /= i,m_index[cnt]++);
        
    if (m > 1) 
        factor[++cnt] = m;
        m_index[cnt]++;
    

inline bool check(int N,int k) 
    N = N-k+1;
    for (int i = 1;i <= cnt;i++) 
        for (;!(N%factor[i]);N /= factor[i],c_index[i]++);
        for (;!(k%factor[i]);k /= factor[i],c_index[i]--);
    
    for (int i = 1;i <= cnt;i++)
        if (m_index[i] > c_index[i]) return false;
    return true;

int main() 
    //freopen("uva1635.in","r",stdin);
    //freopen("uva1635.out","w",stdout);
    while (cin >> n >> m) 
        memset(m_index,0,sizeof(m_index));
        memset(c_index,0,sizeof(c_index));
        ans[0] = cnt = 0;
        init();
        for (int i = 1;i <= n-2;i++)
            if (check(n-1,i)) ans[++ans[0]] = i+1;
        printf("%d\n",ans[0]);
        for (int i = 1;i <= ans[0];i++) printf("%s%d",i ^ 1 ? " " : "",ans[i]);
        printf("\n");
    
    return 0;