石头剪刀步（rps）：dp，概率&期望

Posted 2022-06-26 hzoi-deepinc

既然已经给std了，直接扔代码啦。代码注释还是不错哒。

因为我也有点懵，不明白的或有不同见解的一定要在评论区喷我啊！

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 //首先题意可能还有人理解错了。题目的意思是你要根据对手分别出了几个石头几个剪刀来决策
 4 //而并不是一场战斗结束后你就能知道对方具体是谁从而直接推断剩下的人
 5 #define g f[i][j][k]//压行，和那个题解里的含义不一样，但没有影响
 6 #define d(x,k) for(int x=k;x>=0;--x)//压行，字少
 7 int n;double x[51][4],f[51][51][51][4],ans,c[51][51];
 8 //f数组的含义：当最后一维为1～3时表示第i+j+k+1个人在前面的人出了i个1,j个2，k个3的情况下出1～3的概率
 9 //当最后一维为0时表示前i+j+k个人出了i个1,j个2，k个3的概率，即那个题解里的g数组
10 int main() 
11     scanf("%d",&n); f[0][0][0][0]=1;//初始化
12     for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf%lf%lf",&x[i][1],&x[i][3],&x[i][2]),
13         x[i][1]/=300,x[i][2]/=300,x[i][3]/=300;
14     //读入概率，注意顺序是132。把石头剪刀步分别抽象为123,故1胜2,2胜3,3胜1
15     for(int i=0;i<=50;++i) c[i][0]=1;
16     for(int i=1;i<=50;++i) for(int j=1;j<=i;++j) c[i][j]+=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
17     //杨辉三角。注意：要用到50！级别的而没有取模，所以要开long long或double
18     for(int s=1;s<=n;++s) d(i,s) d(j,s-i) d(k,s-i-j) d(u,(i+j+k==s?0:3))//有点像个背包
19         //你可以把s单独再开一维的数组来表示目前考虑到第几个人，更好理解但貌似会炸内存
20         //u为1～3时，分别枚举第几个人，前面的人出过几个1,2,3，这个人要出u
21         //注意u的枚举是当i+j+k！=s时才更新对方下一次出123的概率，否则只更新到达某状态的概率
22         //u为0时，计算到达这个状态的总概率（即题解中的g数组）
23         if(i)g[u]+=f[i-1][j][k][u]*x[s][1];//这个人s出了1,累加概率
24         //当u=0时,f[i][j][k][0]由f[i-1][j][k][0]转移而来（u=0并不考虑下一个人会出什么）
25         //在原状态出一个1即为新状态，后者的概率为x[s][1]。计算g数组就不必考虑其他f值的影响
26         //因为根据含义就有f[i][j][k][0]=f[i][j][k][1]+f[i][j][k][2]+f[i][j][k][3]
27         //当u>0时就不太一样了，计算的是接下来出1的概率
28         //它由上一轮对方出1的概率乘对方真的出了1的概率累加而来，此时i+j+k！=s
29         //因为你把这玩意当成一个背包不断往里面放对手来更新其概率
30         //意思大概就是“目前的状态已经是那样了而且下一轮你遇到了s”，然后s对你的概率产生的贡献
31         //所以就是你走到原状态的概率，乘上s出1的概率，就是s对目前状态的概率贡献
32         //所以i+j+k==s时不能枚举到3,因为相当于你的原状态里面已经有s个人了，可是你现在刚刚开始考虑第s个人啊
33         if(j)g[u]+=f[i][j-1][k][u]*x[s][2];//出2，同上
34         if(k)g[u]+=f[i][j][k-1][u]*x[s][3];//出3，同
35         if(u)g[u]+=f[i][j][k][1-1]*x[s][u];//不要管这个1-1,它只是为了在等宽字体下的整齐
36         //这个就是弥补了上面的缺陷。本层转移。不管目前的状态是什么，反正第s个人就是出u了
37         //与上面的并不重复。一个是在说s对以前的状态的贡献，这个是在说s对当前状态的贡献
38     
39     d(i,n-1) d(j,n-1-i) d(k,n-i-j-1)//i+j+k不要枚举到n，因为已经进行过n轮后下一次再出什么已经不重要不记分了
40         ans+=max(max(g[1]+3*g[2],g[2]+3*g[3]),g[3]+3*g[1])/c[n][i+j+k]/(n-i-j-k);
41     //在每一种状态下（即确定对手已经出了i个1,j个2,k个3）时你都有唯一确定的最优决策来进行下一轮
42     //每一次决策时都会累加分数，3种决策分别对应出1,2,3.g[1]即为与1打平，3*g[2]即为战胜2
43     //你所说的最优决策就是根据已有信息（每个对手出了什么），通过猜测对手下一步会出什么来权衡3中决策
44     //至于为什么用到了组合数：因为你所算的概率只是到达这一步的概率，但是你是从n个人里随便选出了c[n][i+j+k]个人
45     //然而其实在同一场游戏中对于同样的i+j+k你只会选1次,在计算的时候你把概率累加在一起了，现在要求一个平均值
46     //再除一个(n-i-j-k)的原因也差不多，因为你是要从剩下的(n-i-j-k)个人里选出一个去挑战
47     //这一步的概率是1/(n-i-j-k)，然而你在上面5层循环的时候并没有考虑，所以在这里统一除去
48     printf("%.12lf\n",ans);//给的std里是用%.12f输出double的，真是惊奇
49 //把注释全删掉你就会发现这个代码只有21行811B