Codeforces 482E ELCA (LCT)

Posted 2022-06-26 suncongbo

题目链接

http://codeforces.com/contest/482/problem/E

题解

T2智商题T3大LCT题，我一个也不会= =
CF的标算好像是分块？反正现在LCT都普及了就用LCT好了。

首先算期望推个式子，易得答案为\(\sum_u a[u](sz[u]^2-\sum_v\in son[u] sz[v]^2)\) (\(sz\)为子树大小)，令求和的那个东西等于\(f[u]\)
并且如果往一个\(u\)里新添一个儿子\(v\)，增添后的子树大小是\(sz[v]\), 那么新增的答案是\(a[u]sz[v](sz[u]-sz[v])\)
然后我们要支持换父亲，动态维护这个东西

后面的就是莽上一个LCT。
这个只能详见代码，解释一下代码里变量的含义
对于一个Splay结构体\(u\):
\(ans\): 这个点Splay的子树中所有点的\(f\)之和。Splay的根的\(ans\)就是要求的答案。
\(sz01\): 这个点所有虚子树的大小之和加上本身的\(1\)。(\(sz\)是原树中子树大小)
\(sz02\): 这个点本身所有虚子树的大小平方和，不包括本身。
\(ans0\): 这个点本身所有虚儿子的\(ans\)之和。
\(sz11\): 这个点所有实儿子和虚儿子的大小之和。
\(sum\): 这个点所有实儿子\(v\)的\(sz01[v]\times a[v]\)之和。
这些变量看起来有些匪夷所思，那么我们看下怎么维护。
首先，所有对虚儿子求和的变量(也就是名字里带0的三个)都在access时处理，pushup时无需处理。
现在考虑pushup那个函数，前两行处理的是\(sz11\)和\(sum\), 这个根据定义求就行，也没有什么好说的。
后四行是重点——\(ans\)的更新。

我们把\(ans[u]\)分了四部分统计。(选两个点\(x\)和\(y\)求\(a[lca(x,y)]\)之和)
第一部分: 两个点都选在\(u\)的祖先(splay左子树内)，或都选在splay右子树内，或都选在\(u\)的同一棵虚子树内。

spl[u].ans = spl[ls].ans+spl[u].ans0+spl[rs].ans;

第二部分: 两个点选在\(u\)的两棵不同虚子树内。

spl[u].ans += (spl[u].sz01*spl[u].sz01-spl[u].sz02)*a[u];

第三部分: 两个点之一选在\(u\)的虚子树内，另一个点选在\(u\)的splay右子树内。这样LCA一定是\(u\).

spl[u].ans += 2ll*spl[u].sz01*spl[rs].sz11*a[u];

第四部分: 两个点之一选在\(u\)的祖先(splay左子树)或其虚子树内，另一个选在\(u\)的整个splay子树及子树内所有点的虚子树去掉\(u\)上方(splay左子树内及其虚子树)的部分，也就是\(u\)及其下方(splay右子树内)所有点及其虚子树内。

spl[u].ans += 2ll*spl[ls].sum*(spl[u].sz11-spl[ls].sz11);

于是就做完了。(第四部分确实有点复杂)

最后膜拜一发考场切此题的新初三巨佬
zjr nb!

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#define llong long long
using namespace std;
 
void read(int &x)

    int f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
    while(s>='0'&&s<='9')x=x*10+s-'0';s=getchar();
    x*=f;

 
const int N = 1e5;
struct SplayNode

    int son[2],fa; llong sz01,sz11,sz02,sum,ans0,ans;
 spl[N+3];
int fa[N+3];
llong a[N+3];
int n,q;
 
bool isroot(int u) return spl[spl[u].fa].son[0]!=u && spl[spl[u].fa].son[1]!=u;
 
void pushup(int u)

    int ls = spl[u].son[0],rs = spl[u].son[1];
    spl[u].sz11 = spl[ls].sz11+spl[u].sz01+spl[rs].sz11;
    spl[u].sum = spl[ls].sum+spl[rs].sum+spl[u].sz01*a[u];
    spl[u].ans = spl[ls].ans+spl[u].ans0+spl[rs].ans;
    spl[u].ans += (spl[u].sz01*spl[u].sz01-spl[u].sz02)*a[u];
    spl[u].ans += 2ll*spl[u].sz01*spl[rs].sz11*a[u];
    spl[u].ans += 2ll*spl[ls].sum*(spl[u].sz11-spl[ls].sz11);

 
void rotate(int u)

    int x = spl[u].fa,y = spl[x].fa;
    spl[u].fa = y;
    if(!isroot(x)) spl[y].son[x==spl[y].son[1]] = u;
    int dir = u==spl[x].son[0];
    spl[x].son[dir^1] = spl[u].son[dir];
    if(spl[u].son[dir]) spl[spl[u].son[dir]].fa = x;
    spl[u].son[dir] = x; spl[x].fa = u;
    pushup(x); pushup(u);

 
void splaynode(int u)

    while(!isroot(u))
    
        int x = spl[u].fa,y = spl[x].fa;
        if(!isroot(x)) x==spl[y].son[1] ^ u==spl[x].son[1] ? rotate(u) : rotate(x);
        rotate(u);
    
    pushup(u);

 
void access(int u)

    for(int i=0; u; i=u,u=spl[u].fa)
    
        splaynode(u);
        int ls = spl[u].son[0],rs = spl[u].son[1];
        spl[u].sz01 += spl[rs].sz11;
        spl[u].sz02 += spl[rs].sz11*spl[rs].sz11;
        spl[u].ans0 += spl[rs].ans; //not ans0
        rs = spl[u].son[1] = i;
        spl[u].sz01 -= spl[rs].sz11;
        spl[u].sz02 -= spl[rs].sz11*spl[rs].sz11;
        spl[u].ans0 -= spl[rs].ans;
        pushup(u);
    

 
void link(int u,int v)

    access(v); splaynode(v);
    access(u); splaynode(u); //in order to pushup
    spl[u].sz01 += spl[v].sz11;
    spl[u].sz02 += spl[v].sz11*spl[v].sz11;
    spl[u].ans0 += spl[v].ans;
    spl[v].fa = u;
    pushup(u);

 
void cut(int u,int v)

    access(u); splaynode(u);
    splaynode(v); //v is in the virtual subtree of u
    spl[u].sz01 -= spl[v].sz11;
    spl[u].sz02 -= spl[v].sz11*spl[v].sz11;
    spl[u].ans0 -= spl[v].ans;
    spl[v].fa = 0;
    pushup(u);

 
bool isanc(int u,int v) //if u is ancestor of v

    access(v); splaynode(v);
    splaynode(u);
    if(!isroot(v)) return true;
    return false;

 
void printans(llong x)

    double ans = (double)x/(double)n/(double)n;
    printf("%.12lf\n",ans);

 
int main()

    scanf("%d",&n);
    for(int i=2; i<=n; i++) scanf("%d",&fa[i]);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%I64d",&a[i]);
    for(int i=1; i<=n; i++) spl[i].sz11 = spl[i].sz01 = 1ll,spl[i].ans = spl[i].sum = a[i];
    for(int i=2; i<=n; i++)
    
        link(fa[i],i);
    
    access(1); splaynode(1);
    printans(spl[1].ans);
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1; i<=q; i++)
    
        char opt[5]; scanf("%s",opt+1);
        if(opt[1]=='P')
        
            int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
            if(isanc(x,y)) swap(x,y);
            cut(fa[x],x);
            fa[x] = y;
            link(fa[x],x);
            access(1); splaynode(1);
            printans(spl[1].ans);
        
        else if(opt[1]=='V')
        
            int x; llong y; scanf("%d%I64d",&x,&y);
            access(x); splaynode(x);
            a[x] = y;
            pushup(x);
            printans(spl[x].ans);
        
    
    return 0;