对最长公共子序列（LCS）等一系列DP问题的研究

Posted 2022-06-25 lishuyu2003

LIS问题：
设\(f[i]\)为以\(a[i]\)结尾的最长上升子序列长度，有：
\[f[i]=f[j]+1(j<i&&a[j]<a[i])\]
可以用树状数组优化至\(O(nlogn)\)

基于排列的LCS问题（\(a,b\)均为排列，即一个元素不会出现多次）：
设\(pos_i\)为\(a_i\)在\(b\)中出现的位置，即\(a_i=b_pos_i\)。
\(a\)的一个子序列\(a_p_1,a_p_2,...,a_p_m\)是\(a,b\)的公共子序列等价于\(pos_p_1<pos_p_2<...<pos_p_m\)
求一个LIS即可。

一般LCS问题：

1. 经典解法：
   设\(f[i][j]\)表示只考虑\(a\)中前\(i\)个，\(b\)中前\(j\)个的最长公共子序列长度，有：
   \[f[i][j]=\left\ \beginaligned & f[i-1][j-1] & a[i]=b[j]\& max(f[i-1][j],f[i][j-1]) & a[i]!=b[j]\\endaligned \right.\]

十分简单，但是还有一种稍微复杂但是拓展性更高的做法：

设$f[i][j]$表示只考虑$a$中前$i$个，$b$中前$j$个并且$b_j$已经和$a_1,...,a_i$中的某一个匹配的最长公共子序列长度，有：

\[f[i][j]=\left\ \beginaligned & f[i-1][j] & a[i]!=b[j]\& max(f[i-1][k]+1) & a[i]==b[j],k<j\\endaligned \right.\]
为什么说这样拓展性更好？来看这样一道题
题目要求最长上升公共子序列，不能直接用LCS的经典解法了，但是我们仔细思考一下，发现如果我们用上面的转移方程，我们只需要在从\(f[i-1][k]\)转移到\(f[i][j]\)时，只需要保证\(b[k]<b[j]\)即可，所以我们得到新的转移方程：
\[f[i][j]=\left\ \beginaligned & f[i-1][j] & a[i]!=b[j]\& max(f[i-1][k]+1) & a[i]==b[j],k<j&&b[k]<b[j]\\endaligned \right.\]
又因为当\(a[i]==b[j]\)时，\(b[k]<b[j]\)等价于\(b[k]<a[i]\)，在转移枚举\(j\)时对所有\(b[k]<a[i]\)的\(f[i-1][k]\)记录一个前缀\(max\)即可。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 5007
int f[N],a[N],b[N];
int main()

    int i,j,n;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&b[i]);
    int maxx=0,ans=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    
        maxx=0;
        for(j=1;j<=n;j++)
        
            if(b[j]==a[i])f[j]=max(f[j],maxx+1);
            else if(b[j]<a[i])maxx=max(maxx,f[j]);
            ans=max(ans,f[j]);
        
    
    printf("%d\n",ans);
    return 0;

当然还有对于一般LCS问题的\(O(nlogn)\)解法（不严格），同样可以拓展至此题，先留坑吧。