P1349 广义斐波那契数列

Posted 2022-06-25 mysh

题目描述

广义的斐波那契数列是指形如an=p×an−1+q×an−2an=p\times a_n-1+q\times a_n-2an=p×an−1?+q×an−2?的数列。今给定数列的两系数ppp和qqq，以及数列的最前两项a1a_1a1?和a2a_2a2?，另给出两个整数nnn和mmm，试求数列的第nnn项ana_nan?除以mmm的余数。

输入格式

输入包含一行6个整数。依次是p,q,a1?,a2?,n,m，其中在p,q,a1?,a2?整数范围内，n和m在长整数范围内。

输出格式

输出包含一行一个整数，即an除以m的余数。

输入输出样例

输入 #1

1 1 1 1 10 7

输出 #1

6

说明/提示

数列第10项是55，除以7的余数为6。

思路

F(n)=p*F(n-1)+q* F(n-2)

数据量太大，还是使用矩阵加速，看一下这次的递推矩阵

|F(n),F(n-1)|=|F(n-1),F(n-2)|*|p,1||q,0| 套路简单，根据递推矩阵初始化就行了

代码：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct no 
	long long a[5][5];
	no() 
		memset(a,0,sizeof(a));
	
;

int p,q,a1,a2;
long long n,Mod;

no X(no a,no b) 
	no c;
	for(int i=1; i<=2; i++)
		for(int j=1; j<=2; j++)
			for(int k=1; k<=2; k++)
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%Mod;
	return c;


no ksm(no a,long long k) 
	no ans=a;
	for(k--; k; k>>=1,a=X(a,a))
		if(k&1)
			ans=X(ans,a);
	return ans;


int main() 
	scanf("%d%d%d%d%lld%lld",&p,&q,&a1,&a2,&n,&Mod);
	a1%=Mod;
	a2%=Mod;
	q%=Mod;
	p%=Mod;
	if(n<3) 
		if(n==1)
			printf("%d\n",a1);
		else
			printf("%d\n",a2);
		return 0;
	
	no a;
	a.a[1][1]=p;
	a.a[1][2]=q;
	a.a[2][1]=1;
	a=ksm(a,n-2);
	printf("%lld\n",(a.a[1][1]*a2+a.a[1][2]*a1)%Mod);
	return 0;