[JZOJ1904] 2010集训队出题拯救Protoss的故乡

Posted 2022-06-24 jz-597

题目

题目大意

给你一个树形的网络，每条边从父亲流向儿子。根节点为原点，叶子节点流向汇点，容量为无穷大。
可以给一些边扩大容量，最多总共扩大\(m\)容量。每条边的容量有上限。
求扩大容量后最大的最大流。

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思考历程

隐隐约约地猜到正解跟树链剖分有什么关系，可是没有打，也没有时间打。
只能暴力DP来水分。
设\(h_i,j\)为\(i\)的父亲到\(i\)的最大流，扩大了\(j\)次容量。\(g_i,j\)为\(i\)到子树的最大流，扩大了\(j\)次容量。前者由后者和边的容量取最小值后得到。
转移方程显然。
这样水了\(70\)分，超过预期\(20\)分。

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正解

有个费用流的做法：对于每个父亲到儿子连费用不同的两条边。扩大一次相当于增加一点费用。
跑最小费用最大流，每次选费用最小的路来增广，费用不超过\(m\)时的最大流即为答案。
这种做法是\(O(n^2)\)的。因为每次增广过后至少会有一条边满流，相当于删掉了这条边。
题解说期望得分\(100\)……我真的服……然而真的有人这么打就过了……

正解是利用树的性质来优化费用流……题解说用\(LCT\)，我看打题解的人实在是太物流了。明明这题码量这么长，还打\(LCT\)？
接下来我们模拟费用流的过程：

1. 找到一个从根节点到叶子节点的费用最小的路径。
2. 求出这条路径的最大流量\(f\)（也就是路径上容量最小的边）。
3. 统计入答案。
4. 路径上的所有边的容量都减去\(f\)。
5. 将修改过的路径上满流边找出来（即为容量为\(0\)的边）。分类讨论：如果费用为\(0\)，那就修改它的费用为\(1\)，并且修改它的容量；如果费用为\(1\)，标记这条边不能再经过（也就是所有的后代都不能到达）。

当然，记得要特殊判断一下即将大于\(m\)的情况。

这个东西用树链剖分和线段树来维护。线段树上维护这些信息：最小的容量\(f\)及其儿子的编号\(numf\)（某条从上到下的路径上容量最小的边），还有最小的费用\(w\)及叶子节点的编号\(numw\)（这个费用为根节点到叶子节点路径上费用之和）。
操作\(1\)的时候，就是询问最小的\(w\)。
操作\(2\)的时候，就是当前节点到根路径上最小的\(f\)。
操作\(4\)的时候，就是当前节点到根路径上的所有边区间减\(f\)。
操作\(5\)的时候，就是将当前节点能到的所有叶子节点的费用区间加\(1\)或无限大。
就是这些操作了……

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代码

好长……还好树链剖分和线段树好打……

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cassert>
#define N 10010
#define INF 1000000000
int n,m;
struct EDGE
    int to;
    EDGE *las;
 e[N];
int ne;
EDGE *last[N];
bool leaf[N];
int a[N],b[N];
int fa[N],siz[N],hs[N];
int top[N],dfn[N],nowdfn,to_num[N];
int noww[N];
void dfs1(int x)
    siz[x]=1;
    for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
        fa[ei->to]=x;
        dfs1(ei->to);
        siz[x]+=siz[ei->to];
        if (siz[ei->to]>siz[hs[x]])
            hs[x]=ei->to;
    
    if (siz[x]==1)
        leaf[x]=1;

void dfs2(int x,int t)
    top[x]=t;
    dfn[x]=++nowdfn;
    to_num[nowdfn]=x;
    if (hs[x])
        dfs2(hs[x],t);
    for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
        if (ei->to!=hs[x])
            dfs2(ei->to,ei->to);

struct Node
    int f,numf;
    int w,numw;
    int tagf,tagw;
 seg[N*4];
inline void updatef(int k)
    if (seg[k<<1].f<=seg[k<<1|1].f)
        seg[k].f=seg[k<<1].f,seg[k].numf=seg[k<<1].numf;
    else
        seg[k].f=seg[k<<1|1].f,seg[k].numf=seg[k<<1|1].numf;

inline void updatew(int k)
    if (seg[k<<1].w<=seg[k<<1|1].w)
        seg[k].w=seg[k<<1].w,seg[k].numw=seg[k<<1].numw;
    else
        seg[k].w=seg[k<<1|1].w,seg[k].numw=seg[k<<1|1].numw;

inline void pushdown(int k)
    if (seg[k].tagf)
        seg[k<<1].f+=seg[k].tagf;
        seg[k<<1|1].f+=seg[k].tagf;
        seg[k<<1].tagf+=seg[k].tagf;
        seg[k<<1|1].tagf+=seg[k].tagf;
        seg[k].tagf=0;
    
    if (seg[k].tagw)
        if (seg[k].tagw>=INF)
            seg[k<<1].w=seg[k<<1|1].w=seg[k<<1].tagw=seg[k<<1|1].tagw=INF;
        else
            seg[k<<1].w+=seg[k].tagw;
            seg[k<<1|1].w+=seg[k].tagw;
            seg[k<<1].tagw+=seg[k].tagw;
            seg[k<<1|1].tagw+=seg[k].tagw;
            seg[k].tagw=0;
        
    

void build(int k,int l,int r)
    if (l==r)
        if (leaf[to_num[l]])
            seg[k]=a[to_num[l]],to_num[l],0,to_num[l],0,0;
        else
            seg[k]=a[to_num[l]],to_num[l],INF,0,0,0;
        return;
    
    int mid=l+r>>1;
    build(k<<1,l,mid);
    build(k<<1|1,mid+1,r);
    updatef(k),updatew(k);

void changef(int k,int l,int r,int st,int en,int c)
    if (st<=l && r<=en)
        seg[k].f+=c;
        seg[k].tagf+=c;
        return;
    
    pushdown(k);
    int mid=l+r>>1;
    if (st<=mid)
        changef(k<<1,l,mid,st,en,c);
    if (mid<en)
        changef(k<<1|1,mid+1,r,st,en,c);
    updatef(k);

void changew(int k,int l,int r,int st,int en,int c)
    if (st<=l && r<=en)
        if (c>=INF)
            seg[k].w=seg[k].tagw=INF;
        else
            seg[k].w+=c;
            seg[k].tagw+=c;
        
        return;
    
    pushdown(k);
    int mid=l+r>>1;
    if (st<=mid)
        changew(k<<1,l,mid,st,en,c);
    if (mid<en)
        changew(k<<1|1,mid+1,r,st,en,c);
    updatew(k);

pair<int,int> un(const pair<int,int> &a,const pair<int,int> &b)return a.first<=b.first?a:b;
pair<int,int> queryf(int k,int l,int r,int st,int en)
    if (st<=l && r<=en)
        return seg[k].f,seg[k].numf;
    pushdown(k);
    int mid=l+r>>1;
    pair<int,int> res(INF,0);
    if (st<=mid)
        res=un(res,queryf(k<<1,l,mid,st,en));
    if (mid<en)
        res=un(res,queryf(k<<1|1,mid+1,r,st,en));
    return res;

int queryw(int k,int l,int r,int x)
    if (l==r)
        return seg[k].tagw;
    pushdown(k);
    int mid=l+r>>1;
    if (x<=mid)
        return queryw(k<<1,l,mid,x);
    return queryw(k<<1|1,mid+1,r,x);

inline int flow(int x)
    int res=INT_MAX;
    for (;x;x=fa[top[x]])
        res=min(res,queryf(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]).first);
    return res;

inline void find(int x,int c)
    for (int y=x;y;y=fa[top[y]])
        changef(1,1,n,dfn[top[y]],dfn[y],-c);
    for (;x;x=fa[top[x]])
        while (x)
            pair<int,int> tmp=queryf(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);
            if (tmp.first)
                break;
            if (noww[tmp.second]==0)
                noww[tmp.second]=1;
                changew(1,1,n,dfn[tmp.second],dfn[tmp.second]+siz[tmp.second]-1,1);
                changef(1,1,n,dfn[tmp.second],dfn[tmp.second],b[tmp.second]);
            
            else
                changew(1,1,n,dfn[tmp.second],dfn[tmp.second]+siz[tmp.second]-1,INF);
                x=fa[tmp.second];
            
        
    

int main()
    scanf("%d%d",&n,&m);
    a[1]=INT_MAX;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        u++,v++;
        e[ne]=v,last[u];
        last[u]=e+ne++;
        scanf("%d%d",&a[v],&b[v]);
        b[v]=min(b[v]-a[v],m);
    
    n++;
    dfs1(1),dfs2(1,1);
    build(1,1,n);
    int ans=0;
    while (1)
        int x=seg[1].numw,cost=seg[1].w;
        if (cost>=INF)
            break;
        int plus=flow(x);
        if (m<cost*plus)
            ans+=m/cost;
            break;
        
        m-=cost*plus;
        ans+=plus;
        find(x,plus);
    
    printf("%d\n",ans);
    return 0;

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总结

有的时候网络流是可以用数据结构维护的……