手算平方根的正确方法

Posted 2020-07-28 假如你是李华

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了手算平方根的正确方法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

手算平方根的「正确」方法，是什么方法？如果你认为是牛顿迭代法的话，你可以亲自试一下，看看效果如何：

（原帖 kz3007407872, 鉴于百度贴吧的帖子是公开的，我就不打码了）

其实牛顿迭代法非常好，在电脑上快得飞起。但是手算就不行了。

那么「正确」的方法是什么呢？是这个：

（原帖同上）

说得神神叨叨的，还能开无限小数，到底是什么方法？帖子里没说。

不过，幸运的是，我有一天翻 Wiki 的时候，碰巧翻到了这个方法。本文将详细介绍这个方法。

\\(2\\) 的算术平方根是多少？是 \\(\\sqrt{2}\\). 不是 \\(1.41\\), 也不是 \\(1.414213\\). 所以，本文讨论的计算，是以（十进制小数）近似值为主的。准确地说，是不足近似值。

近似值，无论是精确到小数点后 1 位还是 1000 位，都是近似值。所以，计算近似值，先得确定精度（即：你算到哪一位 / 数量级就满意了）。

先讨论对一位数开平方，精确到小数点后 1 位的情况（以计算 \\(\\sqrt{2}\\) 为例）。

这一上来就有一个问题：大家都知道 \\(\\sqrt{2}\\) 精确到一位小数是 \\(1.4\\), 但为是么是 \\(1.4\\), 不是 \\(1.3\\) 或 \\(1.5\\)?

显然，\\(1.5^2 > 2\\), 不是我们要的不足近似值。而 \\( 1.3^2 < 1.4^2 < 2 \\) 所以在不过剩的情况下，最接近的（在给定精度范围内的）数是 \\(1.4\\).

既然是这样的话，我们就可以把这个过程「概括」成这样一个问题的求解：

求最大的一位数 \\(x\\), 使得不等式 \\( \\overline{1.x}^2 \\leqslant 2 \\) 成立。

求出 \\(x=4\\) 后，如果要继续提高精度，那么再求解这个问题：

求最大的一位数 \\(y\\), 使得不等式 \\( \\overline{1.4y}^2 \\leqslant 2 \\) 成立。

（精度还可以继续提高）

……

这其实就是大家计算平方根最常用的方法，即「试乘」。但是计算 \\( \\overline{1.x} \\) 的平方，是多位数乘多位数，不好算。而且随着精度增加，越来越难算（\\(\\overline{1.414213x}^2\\) 什么的，想想就要爆炸）。既然硬算不好算，那么就需要技巧。什么技巧呢？我们可以把式子变形一下，来降低运算的规模：

\\( (1+\\frac{x}{10})^2 \\leqslant 2 \\) (1)

把完全平方展开，得：

\\( 1+\\frac{2x}{10}+\\frac{x^2}{100} \\leqslant 2 \\)

\\( \\Leftrightarrow \\frac{2x}{10}+\\frac{x^2}{100} \\leqslant 1 \\)

\\( \\Leftrightarrow 20x+x^2 \\leqslant 100 \\)

\\( \\Leftrightarrow x(20+x) \\leqslant 100 \\)

\\( \\Leftrightarrow x\\cdot \\overline{2x} \\leqslant 100 \\) (2)

这样，运算规模就从多位数乘多位数降低到了一位数乘多位数，立马好算了许多。

继续提高精度，求百分位上的数字 \\(y\\)：

\\( (1+\\frac{x}{10}+\\frac{y}{100})^2 \\leqslant 2 \\)

\\( \\Leftrightarrow {\\left [(1+\\frac{x}{10})+\\frac{y}{100} \\right ]}^2 \\leqslant 2 \\)

\\( \\Leftrightarrow (1+\\frac{x}{10})^2+2(1+\\frac{x}{10})\\frac{y}{100}+\\frac{y^2}{10000} \\leqslant 2 \\)

\\( \\Leftrightarrow 2(1+\\frac{x}{10})\\frac{y}{100}+\\frac{y^2}{10000} \\leqslant 2-(1+\\frac{x}{10})^2 \\)

\\( \\Leftrightarrow 2(1+\\frac{x}{10})\\frac{y}{100}+\\frac{y^2}{10000} \\leqslant 2-(1+\\frac{2x}{10}+\\frac{x^2}{100}) \\)

\\( \\Leftrightarrow 2(1+\\frac{x}{10})\\frac{y}{100}+\\frac{y^2}{10000} \\leqslant 1-(\\frac{2x}{10}+\\frac{x^2}{100}) \\)

\\( \\Leftrightarrow 20(10+x)y+y^2 \\leqslant 100 \\left [ 100-(20x+x^2) \\right ] \\)

\\( \\Leftrightarrow y \\left [ 20(10+x)+y \\right ] \\leqslant 100 \\left [ 100-x(20+x) \\right ] \\)

\\( \\Leftrightarrow y(20\\cdot \\overline{1x}+y) \\leqslant 100 \\left [ 100-x\\cdot \\overline{2x} \\right ] \\)

\\( \\Leftrightarrow y(2\\cdot \\overline{1x0}+y) \\leqslant 100 \\left [ 100-x\\cdot \\overline{2x} \\right ] \\)

\\( \\Leftrightarrow y\\cdot \\overline{\\overline{(2\\cdot\\overline{1x})}y} \\leqslant 100 \\left [ 100-x\\cdot \\overline{2x} \\right ] \\) (3)

代入 \\(x=4\\) 即可求出 \\(y\\):

\\( y\\cdot \\overline{28y} \\leqslant 100 ( 100-4\\cdot 24 ) \\) (4)

我们发现，(3) 式的右侧，出现了与 (2) 式（移项后的一边）相同的部分，这个部分还被乘上了 \\(100\\)。而 (3) 式左侧，跟 \\(2\\) 式左侧形式相同，都是未知数乘以已得到结果序列的两倍在末尾处添上这个未知数（即帖子中所说「多位数的位数是已开方位数加 1」）。现在，其实已经可以归纳出规律，描述出一个完整的算法了。

但是，这时有些人就会不服：

**，这些破烂式子，都 ** 什么意思啊？*** 为什么要把已得到的结果翻一倍啊？把上一步的不等式两边作差，再乘以 100, 又 ** 是搞什么飞机？

对于这个开方法来说，如果只用代数去推导，确实会让人一头雾水。但是，一但用几何的方法直观地说明一下，这些步骤的意义就会非常明显。看了下面这个几何说明之后，你就会发现，这些看似「无厘头」的步骤，其实都是天经地义的。

看一下这张图（完全平方公式在正数情况下的几何证明）：

（来源：原创 / Public Domain）

再看看这张图：

（来源：Wikipedia）

发现什么了吗？

刚才计算 \\(\\sqrt{2}\\) 近似值的百分位的过程，实际上就是在这个面积为 \\(2\\) 的绿色大正方形中，割出一块边长为 \\( \\overline{1.4x} \\; (x=0,\\;1,\\;2,\\;\\cdots 9) \\) 的小正方形，使 \\(x\\) 最大。而这个小正方形又可以被两条互相垂直的线切成四个部分。其中一个是边长为己经算出来的部分（精确到上一位的结果，即 \\(1.4\\)）的正方形（蓝色），剩下的是两个矩形（橙色）和一个正方形（粉色）。

整个小正方形的边长是 \\( \\overline{1.4x} \\), 蓝色正方形的边长为 \\(1.4\\), 所以橙色矩形的宽就是 \\( x\\cdot 10^{-2} \\), 长就是 \\(1.4\\), 粉色正方形的边长就是 \\( x\\cdot 10^{-2} \\).

现在我们要求这个百分位，实际上就是要让小正方形在大小不超过大正方形的前提下，边长（面积）达到最大。怎么保证面积不超过大正方形呢？我们从大正方形的面积中减去蓝色正方形的面积，使两个橙色矩形和粉色正方形的面积和不超过这个面积差即可，即：

\\( 2S_{orange}+S_{pink} \\leqslant S_{green} - S_{blue} \\)

代入它们的值，可得：

\\( 2 \\times 1.4 \\cdot (x \\cdot 10^{-2}) + (x \\cdot 10^{-2})^2 \\leqslant 2-1.4^2 \\)

\\( \\Leftrightarrow 2 \\times 1.4 \\cdot (x \\cdot 10^{-2}) + x^2 \\cdot 10^{-4} \\leqslant 2-1.4^2 \\)

\\( \\Leftrightarrow 2 \\times 1.4 \\cdot (x \\cdot 10^2) + x^2 \\leqslant 10^4(2-1.4^2) \\)

\\( \\Leftrightarrow 20 \\times 14 x + x^2 \\leqslant 10^4(2-(1+0.4)^2) \\)

\\( \\Leftrightarrow x(280 + x) \\leqslant 10^4(2-(1+0.8+0.16)) \\)

\\( \\Leftrightarrow x \\cdot \\overline{28x} \\leqslant 10^4(1-0.96) \\)

\\( \\Leftrightarrow x \\cdot \\overline{28x} \\leqslant 100 \\times (100-96) \\)

跟 (4) 式是不是完全一样？所以，这样一解释，那些步骤的意义就很明显了：

把 上次的结果翻一倍，相当于是在求 两个橙色矩形 的面积。在 \\( 20x+x^2 \\leqslant 100 \\Leftrightarrow x(20+x) \\leqslant 100 \\) 这个式子中，\\(20x\\) 就相当于橙色部分，\\(x^2\\) 就相当于粉色部分
那个作差操作，相当于从总面积中扣除蓝色的已求部分；再往下算就是再从中扣掉精度提升后蓝色已求部分增加的面积。
乘以 100 是因为新的一位比上一位降低了一个数量级，多出来的那三块面积就少了两个数量级。