[LuoGu] P1018 乘积最大

Posted 2020-11-10 1miharu

\(\color{red}{\mathcal{Description}}\)

今年是国际数学联盟确定的“\(2000\)---世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰 \(90\) 周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友 \(XZ\) 也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为 \(N\) 的数字串，要求选手使用 \(K\) 个乘号将它分成 \(K+1\) 个部分，找出一种分法，使得这 \(K+1\) 个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：\(312\)， 当 \(N=3\),\(K=1\) 时会有以下两种分法：

\(3 \times 12=36\) , \(31 \times 2=62\) 这时，符合题目要求的结果是: \(31 \times 2 = 62\)

现在，请你帮助你的好朋友 \(XZ\) 设计一个程序，求得正确的答案。

\(\color{red}{\mathcal{Input\ Format}}\)

程序的输入共有两行：第一行共有22个自然数 \(N,K\), 第二行是一个长度为 \(N\) 的数字串。

\(\color{red}{\mathcal{Output\ Format}}\)

结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

\(\color{red}{\mathcal{DataSize\ Agreement}}\)

\(6≤N≤40,1≤K≤6\)

\(\color{red}{\mathcal{Solution}}\)

线性dp

令 \(dp[i][j]\) 表示在前 \(i\) 个字符中插入 \(j\) 个乘号能得到的最大乘积.枚举第 \(j\) 个乘号插入的位置(第 \(k\) 个数字后),则可得到转移方程:

\[dp[i][j]=\max{dp[k][j-1]*num(k+1,i)}\ \ \ \ \ \ (2 \leq i \leq N,1 \leq j \leq \min(i-1,K), j \leq k < i)\]

初始化 \(dp[i][0]=num(1,i)\ \ \ (1 \leq i \leq N)\)

基于题目数据,要用到高精度

\(\color{red}{\mathcal{Code}}\)
(不加高精)

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define reg register

using namespace std;

const int kN = 100;

LL dp[kN][kN];
string num;
int N, K; 

LL Cut(int l, int r) {
  LL ret = 0;
  for (reg int i = l; i <= r; ++i)
    ret = ret * 10 + num[i - 1] - '0';
  return ret;
}

int main() {
  scanf("%d%d", &N, &K);
  cin >> num;
  for (reg int i = 1; i <= N; ++i)
    dp[i][0] = dp[i - 1][0] * 10 + num[i - 1] - '0';
  for (reg int i = 2; i <= N; ++i)
    for (reg int j = 1; j <= min(i - 1, K); ++j)
      for (reg int k = j; k < i; ++k)
        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j - 1] * Cut(k + 1, i));
  printf("%lld\n", dp[N][K]);
  return 0;
}

\(\color{red}{\mathcal{Source}}\)

\(NOIp\ 2000\ TG\ T2\)