二叉树

Posted 2022-06-22 lqkstudy

概述

概念

　　二叉树是含有含有n（n≥0）个结点的有限集合。n=0时称为空二叉树。

　　若结点a有两个分支结点b和c，则：

　　　　a.结点b和结点c是结点a的子结点。

　　　　b.结点a是结点b和结点c的父结点。

　　　　c.结点b和结点c互为兄弟结点。

　　　　d.没有父结点的结点称为根结点。

　　　　e.没有子结点的结点称为叶子结点。

　　在非空二叉树中：

　　　　a.有且只有一个根结点。

　　　　b.每一个结点可以有0~2个子结点。

　　结点的层次从根结点开始计，根结点为第1层，根结点的子结点为第2层...依次往下。最高层次代表了该二叉树的深度。

性质

　　二叉树的性质有：

　　　　a.在非空二叉树的第i（i≥1）层上最多有2^i-1个结点。

　　　　b.深度为k（k≥1）的二叉树最多有2^k-1个结点。

　　　　c.叶子结点的个数总比有两个子结点的结点的个数多1。

　　满二叉树：一棵深度为k（k≥1）且有2^k-1个结点的二叉树。满二叉树的性质有：

　　　　a.第i（i≥1）层上有2^i-1个结点。

　　　　b.除了最后一层全为叶子结点外，其余每一层的结点都有两个子结点。

　　结点编号：从根结点起，自上而下，自左而右给满二叉树的每一个结点从0开始编号。也就是说：

　　　　a.结点i的左子结点为结点2i+1，右子结点为结点2(i+1)。

　　　　b.i为正奇数，则结点i的父结点为结点(i-1)/2，且结点i为其左子结点；i为正偶数，则结点i的父结点为结点i/2-1，且结点i为其右子结点。

　　　　c.第k（k≥1）层的第一个结点为结点2^k-1-1。

　　　　d.二叉树的最后一个结点i与深度d的关系为：2^d-1-1≤i＜2^d-1。

　　完全二叉树：每个结点i（0≤i＜n，n为结点个数）都存在的二叉树。满二叉树是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树的性质有：

　　　　a.只有一个子结点的结点的个数n₁=1-n%2。

　　　　b.有两个子结点的结点的个数n₂=(n-n₁-1)/2=(n-2+n%2)/2。

　　　　c.叶子结点的个数n₀=n₂+1=(n+n%2)/2。

　　二叉树的存储结构也有顺序存储和链式存储两种。