欧拉公式 大组合数 2017 ICPC 乌鲁木齐 D Fence Building

Posted 2022-06-20 qingjiuling

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/40515

题意：给你一个n，让你在圆上找n个点，最多能把圆分成多少个区域。

欧拉公式：R+V-E=2，其中的R，V，E分别是区域数，点数，边数

想分成最多的区域，只需要满足不会有3根线交于一个点就好。

尝试统计总的结点个数A(n)，与独立线段（包括圆弧上的n段小弧）的总个数B(n)，然后利用欧拉公式就可以得到答案 Ans(n)=B(n)−A(n)+1 这里之所以是加1是因为圆外那个区域我们不算
任意四个点，会形成一个交点，并贡献额外的 2 条独立线段。而任意两点间也会有一个独立线段

故A(n)=n+C(n,4),B(n)=n+2*C(n,4) +C（n,2） (这里的C代表组合数)

故答案为 C(n,4)+C(n,2)+1

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const long long int mod=1e9+7;
 
ll mod_pow(ll x, ll n, ll p) //快速幂 
    ll res = 1;
    while(n)
        if(n & 1) res =res * x % p;
        x = x * x % p;
        n >>= 1;
    
    return res;

 
ll comb(ll n, ll m, ll p) //comb用来求解组合数 
    if(m > n) return 0;
    ll ret = 1;
    m = min(n - m, m);
    for(int i = 1; i <= m; i ++)
        ll a = (n + i - m) % p;
        ll b = i % p;
        ret = ret * (a * mod_pow(b, p - 2, p) % p) % p;
    
    return ret;

 
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)  //卢卡斯定理---处理大的组合数对素数取模的情况，因为这时如果递推的话将会特别耗时 
    if(m == 0) return 1;
    return comb(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;

 
int main()
    int T;
    ll n, m, p;
    scanf("%d", &T);
    int cas=1;
    while(T--)
        scanf("%lld",&n);
        
        long long ans=(Lucas(n,2,mod)+Lucas(n,4,mod)+1)%mod;
        printf("Case #%d: %lld\n",cas++,ans);
    
    return 0;