每周一道算法题：兑换零钱

Posted 2022-06-20

问题：

已知可兑换的零钱种类有1元，5元，10元，20元4种，现在有100块钱要换成零钱且总数量少于15张，有几种换法？分别是什么？

思路：

已知有[1,5,10,20]这样的一个可选数据集S，现在要从中取出n个数，每个数的张数为a，使得a1xn1+a2xn2+...aixni = 100。

最大的面额是20，总共需要100/20=5张，这是最少的张数，所以循环的下限是5，上限题目已经限定了，是15。

也就是说，从S这个数据集中，取5-15个数，使得他们的和为100，数是可以重复的。

先考虑最简单的情况。先不考虑和为100这个限制。仅仅是从数据集S中取5个数，数字可以重复，这种情况有多少种？

在我们这个问题中，对取出来的数的顺序是没有要求的，比如：取出来是[1,20,10,5,5]与[1,5,5,10,20]没有区别，所以这是个组合的问题。
但一般的组合问题都是从m个不同的数里选n个，公式就是C(m,n)。
但我们这里的数是允许重复的，怎么办？可以转换一下，假如我们取了[1,1,1,1,1]这5个数(即n=5)，我们可以保持第一个1不变，余下的4个数（即n-1）全部加上一个100以上的随机数，使得其与S中别的元素都不同，那么便相当于从m+n-1个不同的数中取出n个数，公式是C（m+n-1, n）。验证一下。

假如S为[1,5]，从中取2个，可以得到如下的组合：
[1,1],[1,5],[5,5]，共计3种。
用公式算，C（2+2-1，2） = C（3，2）=3；正确。
再假如从中取3个，可以得到如下组合：
[1,1,1],[5,1,1],[5,5,1],[5,5,5]，共计4种。
用公式算，C（2+3-1，3）=4；正确。

所以从m个不同数中取出n个可重复的数的组合数量是C(m+n-1,n)

现在要把这些组合列出来，可以用如下的办法：
我们建立一个临时数组，用来存放S中各元素的下标。
初始化为[0,0,0,0,0]，表示取的5个元素全是S[0]；
接着对首位进行加1，变为[1,0,0,0,0]，表示的金额为[5,1,1,1,1]；
首位继续累加，直到编历完所有的S，最后会变为[3,0,0,0]；

这是第一轮的过程，即：
[0,0,0,0,0]
[1,0,0,0,0]
[2,0,0,0,0]
[3,0,0,0,0]

然后进行下一轮，当首位元素的下标超过3时，对第2位进行处理，即处理成：
[1,1,0,0,0]
接着继续累加首位
[2,1,0,0,0]
[3,1,0,0,0]

当首位超过3时，对第2位进行累加
[1,2,0,0,0]
接首继续累加首位
[2,2,0,0,0]
[3,2,0,0,0]

重复这个过程，直到所有的元素变为
[3,3,3,3,3]

但全部为3这个条件不好判断，我们可以增加一位，让下标数组多出1位来，这样，当第6个元素有值时，即认为已经结束了。
即当元素下标成为[1,1,1,1,1,1]时，程序退出。

把所有的下标数组汇总到一起，并映射到数据集的对应元素上，即为最终结果。

解答：

php

/**
 * 取元素可重复的组合
 * @param $arr array 可选择元素数组
 * @param $n int 要取的数量
 * @return array
 */
function repeatedCombination($arr, $n)

    $len = count($arr);// 数组长度
    $tmp = array_fill(0, $n + 1, 0);// 存放组合元素的下标，初始为0
    $len--; // 数组长度减1
    $result = array();
    while (1) 
        for ($i = 0; $i < $n; ++$i)  // n个元素
            if ($tmp[$i] > $len) 
                $tmp[$i + 1] += 1;
                for ($j = $i; $j >= 0; --$j) 
                    $tmp[$j] = $tmp[$j + 1];
                
            
        

        // 当最后一位非0时，所有的组合都已经处理完毕，退出
        if ($tmp[$n] > 0) 
            break;
        

        $item = array();
        for ($i = 0; $i < $n; $i++) 
            $item[] = $arr[$tmp[$i]];
        
        $result[] = $item;
        $tmp[0] += 1;
    
    return $result;


$arr = array("1", "5", "10", "20");

$m = array();
for ($i = 5; $i < 15; $i++) 
    $rs = repeatedCombination($arr, $i);
    foreach ($rs as $r) 
        if (array_sum($r) == 100) 
            $m[] = $r;
        
    

print_r($m);

输出：

Array
(
    [0] => 20-20-20-20-20
    [1] => 20-20-20-20-10-10
    [2] => 20-20-20-20-10-5-5
    [3] => 20-20-20-10-10-10-10
    [4] => 20-20-20-20-5-5-5-5
    [5] => 20-20-20-10-10-10-5-5
    [6] => 20-20-10-10-10-10-10-10
    [7] => 20-20-20-10-10-5-5-5-5
    [8] => 20-20-10-10-10-10-10-5-5
    [9] => 20-10-10-10-10-10-10-10-10
    [10] => 20-20-20-10-5-5-5-5-5-5
    [11] => 20-20-10-10-10-10-5-5-5-5
    [12] => 20-10-10-10-10-10-10-10-5-5
    [13] => 10-10-10-10-10-10-10-10-10-10
    [14] => 20-20-20-20-10-5-1-1-1-1-1
    [15] => 20-20-20-5-5-5-5-5-5-5-5
    [16] => 20-20-10-10-10-5-5-5-5-5-5
    [17] => 20-10-10-10-10-10-10-5-5-5-5
    [18] => 10-10-10-10-10-10-10-10-10-5-5
    [19] => 20-20-20-20-5-5-5-1-1-1-1-1
    [20] => 20-20-20-10-10-10-5-1-1-1-1-1
    [21] => 20-20-10-10-5-5-5-5-5-5-5-5
    [22] => 20-10-10-10-10-10-5-5-5-5-5-5
    [23] => 10-10-10-10-10-10-10-10-5-5-5-5
    [24] => 20-20-20-10-10-5-5-5-1-1-1-1-1
    [25] => 20-20-10-10-10-10-10-5-1-1-1-1-1
    [26] => 20-20-10-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5
    [27] => 20-10-10-10-10-5-5-5-5-5-5-5-5
    [28] => 10-10-10-10-10-10-10-5-5-5-5-5-5
    [29] => 20-20-20-10-5-5-5-5-5-1-1-1-1-1
    [30] => 20-20-10-10-10-10-5-5-5-1-1-1-1-1
    [31] => 20-10-10-10-10-10-10-10-5-1-1-1-1-1
    [32] => 20-20-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5
    [33] => 20-10-10-10-5-5-5-5-5-5-5-5-5-5
    [34] => 10-10-10-10-10-10-5-5-5-5-5-5-5-5
)

golang:

package main

import (
    "fmt"
    "strconv"
)

func main() 
    data := []string"1", "5", "10", "20"
    m := make([][]string, 0)
    for i := 5; i < 15; i++ 
        rs := repeatedCombination(data, i)
        for _, r := range rs 
            sum := 0
            for _, v := range r 
                val, _ := strconv.Atoi(v)
                sum += val
            
            if sum == 100 
                m = append(m, r)
            
        
    
    fmt.Println(m)


func repeatedCombination(data []string, n int) [][]string 
    length := len(data)
    limit := length - 1
    tmp := make([]int, n+1)
    result := make([][]string, 0)
    for 
        for i := 0; i < n; i++ 
            if tmp[i] > limit 
                tmp[i+1] += 1
                for j := i; j >= 0; j-- 
                    tmp[j] = tmp[j+1]
                
            
        

        if tmp[n] > 0 
            break
        

        var item []string
        for i := 0; i < n; i++ 
            item = append(item, data[tmp[i]])
        
        result = append(result, item)

        tmp[0] += 1
    
    return result

输出：

[[20 20 20 20 20]
[20 20 20 20 10 10] 
[20 20 20 20 10 5 5]
[20 20 20 10 10 10 10]
[20 20 20 20 5 5 5 5] 
[20 20 20 10 10 10 5 5]
[20 20 10 10 10 10 10 10] 
[20 20 20 10 10 5 5 5 5] 
[20 20 10 10 10 10 10 5 5]
[20 10 10 10 10 10 10 10 10] 
[20 20 20 10 5 5 5 5 5 5]
[20 20 10 10 10 10 5 5 5 5]
[20 10 10 10 10 10 10 10 5 5] 
[10 10 10 10 10 10 10 10 10 10]
[20 20 20 20 10 5 1 1 1 1 1] 
[20 20 20 5 5 5 5 5 5 5 5] 
[20 20 10 10 10 5 5 5 5 5 5] 
[20 10 10 10 10 10 10 5 5 5 5] 
[10 10 10 10 10 10 10 10 10 5 5] 
[20 20 20 20 5 5 5 1 1 1 1 1] 
[20 20 20 10 10 10 5 1 1 1 1 1] 
[20 20 10 10 5 5 5 5 5 5 5 5]
[20 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 5] 
[10 10 10 10 10 10 10 10 5 5 5 5] 
[20 20 20 10 10 5 5 5 1 1 1 1 1]
[20 20 10 10 10 10 10 5 1 1 1 1 1] 
[20 20 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5] 
[20 10 10 10 10 5 5 5 5 5 5 5 5] 
[10 10 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 5]
[20 20 20 10 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1]
[20 20 10 10 10 10 5 5 5 1 1 1 1 1]
[20 10 10 10 10 10 10 10 5 1 1 1 1 1] 
[20 20 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5] 
[20 10 10 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5]
[10 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 5 5 5]]