[CCPC－Wannafly & Comet OJ 夏季欢乐赛(2019)]飞行棋

Posted 2022-06-20 sainsist

题目链接：https://www.cometoj.com/contest/59/problem/E?problem_id=2714

求期望并且一堆转移基本上就是期望dp了(叉腰

照常的设dp[i]表示i位置到n位置的期望步数。则我们所求的是dp[0]。

初始化dp[n]=0,因为n到n的期望为0。

之后先讨论下i为n-1到n-k的时候。

我们可以列出转移方程(随便写几个

$dp[n-1]=\tfrac1k*(dp[n]+dp[n-1]+dp[n-2]+\cdot \cdot \cdot +dp[n-k+1])+1$

$dp[n-2]=\tfrac1k*(dp[n-1]+dp[n]+dp[n-1]+\cdot \cdot \cdot +dp[n-k+2])+1$

$\cdot \cdot \cdot\cdot \cdot \cdot$

$dp[n-k]=\tfrac1k*(dp[n-k+1]+dp[n-k+2]+dp[n-k+3]+\cdot \cdot \cdot +dp[n])+1$

这时候自(mang)信(fu)同学可能就直接上高斯消元了，而善于发现的老哥则会很轻松的写出一组解，即：$dp[n-1]=dp[n-2]=dp[n-3]=\cdot \cdot \cdot =dp[n-k]=k$

之后再讨论下i为n-k-1到0的时候

就是很简单的转移：$dp[i]=\tfrac1k*(dp[i+k]+dp[i+k-1]+dp[i+k-2]+\cdot \cdot \cdot +dp[i+1])+1$

这里就可以直接矩阵快速幂优化。

先上一个8/15AC,7/15RE的不加速代码方便理解：

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<string>
 5 #include<cmath>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long ll;
 8 const int maxn = 2e5 + 10;
 9 const ll mod = 1000000007;
10 ll dp[maxn];
11 ll qpow(ll a, ll b) 
12     ll ans = 1;
13     while (b) 
14         if (b & 1)ans = ans * a%mod;
15         a = a * a%mod;
16         b >>= 1;
17     
18     return ans;
19 
20 int main() 
21     ll n, k;
22     cin >> n >> k;
23     ll inv = qpow(k, mod - 2);
24     dp[n] = 0;
25     ll sum = 0;
26     for (int i = n - 1; i >= n - k; i--)
27         dp[i] = k, sum = (sum + dp[i]) % mod;
28     for (int i = n - k - 1; i >= 0; i--)
29         dp[i] = (sum * inv + 1) % mod, sum = (sum - dp[i + k] + dp[i] + mod) % mod;
30     printf("%lld\n", dp[0]);
31 

之后是本题正解：(先咕咕一下