sg函数入门理解

Posted 2022-06-19 warmingtxdy

首先理解sg函数必须先理解mex函数

mex是求除它集合内的最小大于等于0的整数，例：mex1，2=0；mex2=0；mex0，1，2=3；mex0，5=1。

而sg函数是啥呢？

对于任意状态 x ， 定义 sg(x) = mex(f)，其中f 是 x 后继状态的sg函数值的集合（就是上述mex中的数值）。最后返回值（也就是sg(x)）为0为必败点，不为零必胜点。

看不懂，咱直接来个例子：

例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取1，3,4个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

sg[0]=0，f[]=1,3,4,

 

x=1时，可以取走1-f1个石子，剩余0个，mexsg[0]=0，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走2-f1个石子，剩余1个，mexsg[1]=1，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走3-f1,3个石子，剩余2,0个，mexsg[2],sg[0]=0,0，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走4-f1,3,4个石子，剩余3,1,0个，mexsg[3],sg[1],sg[0]=1,1,0,故sg[4]=2;

x=5时，可以取走5-f1,3,4个石子，剩余4,2,1个，mexsg[4],sg[2],sg[1]=2,0,1,故sg[5]=3；

以此类推.....

   x         0  1  2  3  4  5  6  7  8....

sg[x]      0  1  0  1  2  3  2  0  1...

计算从1-n范围内的SG值。

f(存储可以走的步数，f[0]表示可以有多少种走法)

这下就ojbk了吧

f[]需要从小到大排序

1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);

2.可选步数为任意步，SG(x) = x;

3.可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算

再附个模板吧

 1 //f[]：可以取走的石子个数
 2 //sg[]:0~n的SG函数值
 3 int f[maxn],sg[maxn],mex[maxn];
 4 void getSG(int n)
 5     int i,j;
 6     memset(sg,0,sizeof(sg));
 7     for(i=1;i<=n;i++)
 8         memset(mex,0,sizeof(mex));
 9         for(j=1;f[j]<=i&&f[j]<=m;j++) //注意加f[i]的限定条件，此处为f[j]<=m
10             mex[sg[i-f[j]]]=1;
11         for(j=0;j<=n;j++)    //求mex中未出现的最小的非负整数
12             if(mex[j]==0)
13                 sg[i]=j;
14                 break;
15             
16         
17         //cout<<i<<" "<<sg[i]<<endl;
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