Tarjan——强连通分量

Posted 2022-06-19 gmsd

是的你没有看错，又是Tarjan（说过他发明了很多算法），那么什么是Tarjan

首先看看度娘的解释：

 

有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，
则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，
称为强连通分量(strongly connected components)。

 

是不是没有看懂，我也是

首先了解几个概念：强连通，强连通图，强连通分量

强连通：在一个有向图G中，两个点a，b，a可以走到b，b可以走到a，我们就说（a,b）强连通

强连通图：在一个有向图G中，任意两个点都是强连通

强连通分量：在一个有向图G中，有一个子图，它任意两个点都是强连通，我们就说这个子图为强连通分量，特别的，一个点也是一个强连通分量

如图所示：

 

显然可得：1,2,3,5 构成了一个强连通分量（一个点也是）

 

下面进入正题，厉害的Tarjan发明的厉害的Tarjan

首先引进一个概念（以前应该都学过），时间戳，用数组dfn表示（应该不用讲吧），也就是搜索这个图的顺序（最后还是讲了）

每个节点的时间戳不同

再是一个low数组，low[x]表示以x为根的子树中，每个节点中连接的点的时间戳的最小值（可能有点难懂，但这个非常重要，是核心思想，等一下的模拟过程会详细讲述）

low的初值:low[x]=dfn[x]

那么如何储存强连通分量呢，可以用栈（学c++的有福利啦，我们有STL）

 

可惜我不会用，（手写栈挺好的），每次遍历到一个新节点，就把它放进栈，如果这个点有出度，就继续往下找，直到不能再找

每一次回来都要更新low值，当然是取小的那个，如果发现low[x]=dfn[x]那么它的子节点中肯定有一个连上来，既然可以过去又可以回来，很明显是一个强连通分量

那么这个x就是这个强连通分量的根节点，那么栈中间，比这个x晚进来的点就是x的子节点，那么这些点全部出栈，就组成了一个强连通分量

到这来就完了，但是好像还是理解透彻（反正我是这样）

那么就模拟一下

还是这张图5——>4

low[1]=dfn[1]=1，1入栈

low[2]=dfn[2]=2，2入栈

low[3]=dfn[3]=3，3入栈

low[5]=dfn[5]=4，4入栈

然后发现5连接着1，已经寻找过得了，那么就看看，谁才是真正的祖先

low[1]=1,low[5]=4,好吧，5输了，所以1是5的根节点，low[5]=min(low[5],low[1])=1

继续发现还有4，low[4]=dfn[4]=5，4入栈

但是4已经没有了出度，往回退

发现low[4]=dfn[4]那么4就是一个强连通分量的根节点（其实也就它一个），4退栈

继续往回退：low[5]=min(low[5],low[4])=1;

继续：一直到1，low[3]=min(low[3],low[5])=1;low[2]=min(low[2],low[3])=1;

low[1]=min(low[1],low[2])=1;

发现此时low[1]=dfn[1]，所以1也是一个强连通分量的根，此时发现栈里还有1,2,3,5

所以这个强连通分量为1,2,3,5

1还有一个出度：4

寻找4，low[4]=dfn[4]=6,发现没有出度

low[4]=dfn[4],所以4是一个强连通分量的根节点（还是只有他一个），退栈

往回退，low[1]=min(low[1],dfn[4])=1;

 

这样就完了吗？

万一还有图没有遍历到呢

所以要加一个语句:

for(int i=1;i<=number;i++)
       if(!dfn[i])Tarjan(i);

以上的模拟过程用程序表示就是：

 

void Tarjan(int x)
    dfn[x]=low[x]=++deep;
    q[++hd]=x;res[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=next[i])
        int y=ver[i];
        if(!dfn[y])
            Tarjan(y);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
        
        else if(res[y])low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    
    if(low[x]==dfn[x])
        int sum=0;
        do
            res[q[hd]]=0;hd--;sum++;
        while(x!=q[hd+1]);
        if(sum>1)ans++;
    
    

 

来一个模板题：洛谷

P2863 [USACO06JAN]牛的舞会The Cow Prom

大意是求强连通分量数量，不过注意的是，每一个点不能算，所以要加一个特判

以下是AC代码：

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=50002;
int number,m,ans=0;
int tot,next[N],ver[N],head[N];
int dfn[N],low[N],deep,res[N],q[N],hd;

int read()
    int s=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)w=(ch==‘-‘)?-1:1,ch=getchar();
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)s=s*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return s*w;


void add(int x,int y)
    ver[++tot]=y;next[tot]=head[x];head[x]=tot;


void Tarjan(int x)
    dfn[x]=low[x]=++deep;
    q[++hd]=x;res[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=next[i])
        int y=ver[i];
        if(!dfn[y])
            Tarjan(y);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
        
        else if(res[y])low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    
    if(low[x]==dfn[x])
        int sum=0;
        do
            res[q[hd]]=0;hd--;sum++;
        while(x!=q[hd+1]);
        if(sum>1)ans++;
    
    


int main()
    number=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
        int x=read(),y=read();
        add(x,y);
    
    for(int i=1;i<=number;i++)
       if(!dfn[i])Tarjan(i);
    cout<<ans;
    return 0;