JZOJ6275小L的数列

Posted 2022-06-17 horizonwd

description

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analysis

• 考虑矩阵乘法

• 设初始\\(m×m\\)矩阵上\\(i\\)行\\(j\\)列的数字表示该矩阵第\\(j\\)位上\\(f[i]\\)的指数

• 那么一开始表示\\(f[1..k]\\)的矩阵就长这个样子，举样例\\(k=4\\)的例子

\\[\\left( \\beginmatrix 1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,1,0\\0,0,0,1\\ \\endmatrix \\right)\\]

• 也就是\\(f[1]=f[1]^1,f[2]=f[2]^1\\)等等

• 可知\\(f[5]=f[4]^b[1]f[3]^b[2]f[2]^b[3]f[1]^b[4]\\)，那表示\\(f[2..k+1]\\)的矩阵就是

\\[ \\left( \\beginmatrix 0,0,0,b[4]\\1,0,0,b[3]\\0,1,0,b[2]\\0,0,1,b[1]\\ \\endmatrix \\right) \\]

• 不懂可以把这个矩阵的各项拆出来，同一列从上往下做\\(f\\)的次幂再相乘就可以分别得到\\(f[2..k+1]\\)

• 由于第一个矩阵相当于矩阵意义的\\(1\\)，所以转移矩阵就是第二个矩阵

• 好像这就没了，但是要知道指数的矩乘不能直接取模，比如\\(3^15\\mod 7≠3^15\\mod 7\\)

• 费马小定理告诉你\\(a^p-1≡1(\\mod p)\\)，也就是说每\\(p-1\\)个\\(a\\)相乘的积模\\(p\\)等于\\(1\\)

• 于是矩乘里的模数取原来的模数\\(-1\\)就可以了

• 我在考场上最后十分钟推出第二个矩阵对然后我?就不知道那个就是转移矩阵然后傻逼地对着转移矩阵发呆

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code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXK 205
#define mod 998244353
#define MOD 998244352
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

ll b[MAXK],f[MAXK];
ll n,m,ans;

struct matrix

    ll f[MAXK][MAXK],n,m;
    matrix()memset(f,0,sizeof(f));
tmp;
inline ll read()

    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0' || '9'<ch)if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();
    while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;

inline matrix operator*(matrix a,matrix b)

    matrix c;
    fo(i,1,m)fo(j,1,m)fo(k,1,m)
    c.f[i][j]=(c.f[i][j]+a.f[i][k]*b.f[k][j])%MOD;
    return c;

inline matrix pow(matrix x,ll y)

    matrix z;
    fo(i,1,m)z.f[i][i]=1;
    if (y==0)return z;
    while (y)
    
        if (y&1)z=z*x;
        x=x*x,y>>=1;
    
    return z;

inline ll ksm(ll x,ll y)

    ll z=1;
    while (y)
    
        if (y&1)z=z*x%mod;
        x=x*x%mod,y>>=1;
    
    return z;

int main()

    freopen("T1.in","r",stdin);
    //freopen("seq.in","r",stdin);
    //freopen("seq.out","w",stdout);
    n=read(),m=read();
    fo(i,1,m)b[i]=read();
    fo(i,1,m)f[i]=read();
    if (n<=m)printf("%lld\\n",f[n]);return 0;
    fo(i,2,m)tmp.f[i][i-1]=1;
    fo(i,1,m)tmp.f[i][m]=b[m-i+1];
    tmp=pow(tmp,n-m),ans=1ll;
    fo(i,1,m)ans=(ans*(ksm(f[i],tmp.f[i][m])))%mod;
    printf("%lld\\n",ans);
    return 0;