线性求欧拉函数

Posted 2022-06-16 asika3912333

我们都知道欧拉筛又称线性筛，能在O（n）的时间复杂度内筛出n以内的所有质数，而我们只要在线性筛的代码上改良一下就能求出n以内所有数的欧拉函数了。
筛质数时，设外层在枚举i，内层枚举到prime[j]，这时有两种情况：

1. i%prime[j]不为0，也就是说，i与j互质，根据欧拉函数的积性可得phi[ i * prime[j] ]=phi[ i ]*phi[ prime[j] ]而这些是前面求出来的，可以直接拿来推。
2. i%prime[j]为0，也就是说，i内有一个质因子是prime[j]，不过没有关系，这只是在i的质因数分解prime[j]的指数加1，而不会影响 的右边1-1/p的部分，所以我们只要用i * prime[j] 乘上右边部分即可，phi[i]=i * 右边部分，即可推出phi[i * prime[j]]=i *  prime[j] * phi[i]/i=prime[j] * phi[i]。

附上代码：
　　　　

 1 int phi[];
 2 int notprime[],prime[];
 3 int cnt;
 4 void getphi(int n)
 5     notprime[0]=notprime[1]=1;
 6     phi[1]=0,phi[2]=1;
 7     for(int i=2;i<=n;++i)
 8         if(!primenot[i])
 9             phi[i]=i-1;//质数的欧拉函数值为该质数减一
10             prime[++cnt]=i;
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12         for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;++j)
13             notprime[prime[j]*i]=1;
14             if(i%prime[j]) phi[prime[j]*i]=phi[prime[j]]*phi[i];//互质
15             else //不互质
16                 phi[prime[j]*i]=prime[j]*phi[i];
17                 break;
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