uoj#94集训队互测2015胡策的统计（集合幂级数）

Posted 2020-11-10 QuartZ_Z

　　题目传送门：http://uoj.ac/problem/94

　　这是一道集合幂级数的入门题目。我们先考虑求出每个点集的连通生成子图个数，记为$g_S$，再记$h_S$为点集$S$的生成子图个数，容易发现，$h_S=2^{size_S}$，其中$size_S$为点集$S$的极大生成子图内的边数。特殊的，$f_{o}=g_{o}=0$。

　　定义集合幂级数的乘法为子集卷积，考虑集合幂级数$h$和$g$的关系，我们可以得到

　　　　$$h=1+sum_{k geq 1}frac{g^k}{k!}=1+e^h$$

 

　　因此可得

　　　　$$g=ln{(1+h)}$$

　　我们再记$f_S$为点集$S$的生成子图的价值和，可得到

　　　　$$f=1+sum{k geq 1}frac{g^k}{k!}k!=frac{1}{1-g}$$

　　计算集合幂级数的对数和逆时，因为我们将乘法定义为子集卷积，所以可以将其映射成集合占位幂级数$f_{|S|,S}$后，在将每个集合对应的位看作形式幂级数再暴力求解。

　　代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define mod 998244353
#define Mod1(x) (x>=mod?x-mod:x)
#define Mod2(x) (x<0?x+mod:x)
#define ll long long
inline ll read()
{
    ll x=0; char c=getchar(),f=1;
    for(;c<‘0‘||‘9‘<c;c=getchar())if(c==‘-‘)f=-1;
    for(;‘0‘<=c&&c<=‘9‘;c=getchar())x=x*10+c-‘0‘;
    return x*f;
}
inline void write(ll x)
{
    static int buf[20],len; len=0;
    if(x<0)x=-x,putchar(‘-‘);
    for(;x;x/=10)buf[len++]=x%10;
    if(!len)putchar(‘0‘);
    else while(len)putchar(buf[--len]+‘0‘);
}
inline void writeln(ll x){write(x); putchar(‘
‘);}
inline void writesp(ll x){write(x); putchar(‘ ‘);}
int f[25][(1<<20)+5],g[25][(1<<20)+5];
int cnt[(1<<20)+5],inv[25];
int x[410],y[410];
int n,m;
inline ll power(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
    return ans;
}
inline void fwt(int* a,int n)
{
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
            for(int k=j;k<j+i;k++)
                a[k+i]=Mod1(a[k+i]+a[k]);
}
inline void ifwt(int* a,int n)
{
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
            for(int k=j;k<j+i;k++)
                a[k+i]=Mod2(a[k+i]-a[k]);
}
int main()
{
    n=read(); m=read();
    for(int i=0;i<m;i++)
        x[i]=read()-1,y[i]=read()-1;
    for(int i=1;i<1<<n;i++)
        cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
    for(int i=1;i<1<<n;i++){
        int tot=0;
        for(int j=0;j<m;j++)
            if((i&(1<<x[j]))&&(i&(1<<y[j])))++tot;
        f[cnt[i]][i]=power(2,tot);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fwt(f[i],1<<n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        inv[i]=power(i,mod-2);
    for(int i=1;i<=n;i++){\求ln
        for(int k=0;k<i;k++)
            for(int j=0;j<1<<n;j++)
                g[i][j]=(g[i][j]+(ll)k*g[k][j]%mod*f[i-k][j])%mod;
        for(int j=0;j<1<<n;j++)
            g[i][j]=(f[i][j]+(ll)(mod-inv[i])*g[i][j])%mod;
    }
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=0;i<1<<n;i++)
        f[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)\求逆
        for(int k=0;k<i;k++)
            for(int j=0;j<1<<n;j++)
                f[i][j]=(f[i][j]+(ll)f[k][j]*g[i-k][j])%mod;
    ifwt(f[n],1<<n);
    writeln(f[n][(1<<n)-1]);
    return 0;
}

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