@hdu - 5009@ Paint Pearls

Posted 2020-11-10 Tiw_Air_OAO

目录

• @description@
• @solution@
• @accepted code@
• @details@

---

@description@

给定一个长度为 n 的序列，每一个位置有一个目标颜色，初始所有位置都没有颜色。
每次操作可以选择一个区间，将这个区间内的位置的颜色改为其目标颜色，代价是区间内不同的目标颜色数量^2。
求将所有位置改为目标颜色的最小代价。

Input
多组数据。
每组数据第一行一个整数 n(1 ≤ n ≤ 5×10^4)，表示序列长度。
第二行包含 a1,a2,...,an (1 ≤ ai ≤ 10^9 ) 表示每个位置的目标颜色。

Output
对于每组数据，输出最小代价。

Sample Input
3
1 3 3
10
3 4 2 4 4 2 4 3 2 2
Sample Output
2
7

@solution@

不难想到区间不能相交，于是就有一个 O(n^2) 的 dp：dp[i] 表示考虑前 i 位的最小代价，有 dp[i] = min{dp[j] + val(j+1, i)}。

考虑优化。
看到代价是平方好像可以斜率，不过仔细一想这个斜率会发生诡异的变化，不行。
其他优化行不通时考虑决策单调性，好像也不怎么单调。
其实很简单，没有那么多套路。

考虑 ans 的一个上界是 n：将所有颜色一个位置一个位置的改变。
如果区间内的颜色个数 > \(\sqrt{n}\)，则代价显然比 ans 的上界还要大，故不合法。于是每一个区间的颜色个数不能超过 \(\sqrt{n}\)。

假如以 i 为区间右端点，如果 j 这个位置的颜色在区间 [j+1, i] 出现过，则决策 [j, i] 不会比决策 [j+1, i] 更差。
这意味着有效的决策点其实只跟每种颜色在 [1, i] 中最后一次出现的位置有关，所以决策点数量只跟区间内所含不同颜色个数有关。

又因为上面每一个区间的颜色个数不能超过 \(\sqrt{n}\)，所以有效决策点的数量也不超过 \(\sqrt{n}\)。
用链表维护一下有效决策点即可，时间复杂度 \(O(n\sqrt{n})\)。

@accepted code@

#include<map>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 50000;
map<int, int>mp;
int lst[MAXN + 5], nxt[MAXN + 5];
void link(int x, int y) {
    nxt[x] = y, lst[y] = x;
}
void erase(int x) {
    nxt[lst[x]] = nxt[x];
    lst[nxt[x]] = lst[x];
}
int a[MAXN + 5], dp[MAXN + 5];
void solve(int n) {
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d", &a[i]), lst[i] = nxt[i] = -1;
    mp.clear(); lst[0] = nxt[0] = -1;
    int sq = sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        link(i - 1, i);
        if( mp.count(a[i]) )
            erase(mp[a[i]]);
        mp[a[i]] = i, dp[i] = n;
        for(int j=1,p=i;j*j<=n&&p;j++,p=lst[p])
            dp[i] = min(dp[i], dp[lst[p]] + j*j);
    }
    printf("%d\n", dp[n]);
}
int main() {
    int n;
    while( scanf("%d", &n) == 1 )
        solve(n);
}

@details@

话说这个题看到平方真的很容易往斜率优化那边靠。。。