关于自补图的认识和构造（无证明）

Posted 2022-06-13 shuaihui520

自补图的定义:  原图为G ， 补图为H  （H是在G的完全图上面去掉关于G图的边得到的新图），G和H为同构

同构的定义：

关于图的同构(Isomorphic)，最简单的例子就是五边形和五角星了：

 

 

 

 

上图中，G₁和G₂为同构的，因为：

1. 从G₁的结点到G₂的结点，存在一个一对一的映上函数 f (one - to - one and onto function f )

2. 从G₁的边到G₂的边，存在一个一对一的映上函数 g (one - to - one and onto function g )

• G₁中，边e₁与结点a，b相关联，当且仅当(if and only if) G₂中边 g(e) 与结点 f(a) 和 f(b) 相关联（E₁和结点A，B相关联）。若满足此条件，函数 f 和 g 称为从G₁到G₂的同构映射(Isomorphism)

2. 判断两图同构

•  

   

  对于某个顺序，如果两个图是同构的，则两个图的邻接矩阵是相同的：
   

  

   

   
  
  

  这两个矩阵对应的是上面的两个图

作者：胖若两人_
链接：https://www.jianshu.com/p/c33b5d1b4cd9

题目：给出n给个点，判断是否可以构造出自补图 ，可以就输出补图的矩阵，于补图点于原点的对应

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/886/E

 

原图与补图边数要一样，所以当n=4*k+2和4*k+3时无解

当n=4*k 时 将点分成4部分P1,P2,P3,P4  前两部分P1P2所有的点两两连边组成团，P3P1部分与部分之间两两连边，P4P2部分与部分之间两两连边

它的补图 是 P3P4组成团，P4P1之间连边，P3P2之间连边，与原图是同构的。

块之间映射关系，原图 P1P2P3P4 补图P3P4P2P1或其他方案。

当n=4*k+1时 剩下一个点随便和两个块连就好了。

图片出场:https://blog.csdn.net/lgz0921/article/details/98455515

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[2500][2500];
void fuck1(int n)
  ///p1,p2两两全部相连
    for (int i = 1; i <= n/2;i++)
        for (int j = i+1; j <= n/2;j++)
            a[i][j]=1;
            a[j][i]=1;
        
    
  ///p1,p3部分相连   p2,p4部分相连
    for (int i = 1; i <= n/4;i++)
        for (int j = 1; j <= n/4;j++)
            a[i][n/2+j]=1;
            a[n/2+j][i]=1;
        
    
    for (int i = n/4+1; i <= n/2;i++)
        for (int j = n/4+1; j <= n/2;j++)
            a[i][n/2+j]=1;
            a[n/2+j][i]=1;
        
    


void fuck2(int n)
    for (int i = 1; i <= n/2;i++)
        a[n][i]=1;
        a[i][n]=1;
    
    n--;
    for (int i = 1; i <= n/2;i++)
        for (int j = i+1; j <= n/2;j++)
            a[i][j]=1;
            a[j][i]=1;
        
    
    for (int i = 1; i <= n/4;i++)
        for (int j = 1; j <= n/4;j++)
            a[i][n/2+j]=1;
            a[n/2+j][i]=1;
        
    
    for (int i = n/4+1; i <= n/2;i++)
        for (int j = n/4+1; j <= n/2;j++)
            a[i][n/2+j]=1;
            a[n/2+j][i]=1;
        
    

void print(int n)

    for (int i = 1; i <= n;i++)
        for (int j = 1; j <= n;j++)
            printf("%d",a[i][j]);
        
        puts("");
    

    if(n==1)
        printf("1\\n");
        return;
    
    int x=n;
    if(n&1) n--;
    for (int i = n; i >= n/2+1;i--)
        if(i==n) printf("%d",i);
        else printf(" %d",i);
    
    for (int i = 1; i <= n/2;i++)
        printf(" %d",i);
    
    if(x&1) printf(" %d\\n",x);
    else puts("");

int main()

    int _; scanf("%d",&_);
    for(int cas=1 ; cas<=_ ; cas++)
        scanf("%d",&n);
        printf("Case #%d: ",cas);
        if(n%4==2||n%4==3)
        
            puts("No");
            continue;
        
        puts("Yes");
        for(int i=1 ; i<=n ; i++)
            for(int j=1 ; j<=n ; j++) a[i][j]=0;
        if(n%4==0)
        
            fuck1(n);
            print(n);
        
        else
        
            fuck2(n);
            print(n);
        
    

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