JZOJ6271锻造 (forging)

Posted 2022-06-12 horizonwd

description

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analysis

• 首先看一下\\(p=1\\)，即\\(1\\)以后的合成一定成功的情况

• 如果按照求期望值的一般做法求两把\\(0\\)合成\\(1\\)的期望，会画出一棵无穷大的树

• 这个的期望值就是\\[a+\\sum^∞_i=1ap(1-p)^i-1\\]

• 通过数列知识或者打表找规律可以知道这个值为\\(a+a\\over p\\)（或者说是\\(f[0]+f[0]\\over p\\)）

• 设\\(f[i]\\)为合成一把\\(i\\)级剑的期望，\\(f[1]\\)单独计算，后面的\\(f[i]=f[i-1]+f[i-2]\\)

• 扩展到\\(100pts\\)的情况，如果\\(i\\)级剑合成失败了，会产生一把\\(i-2\\)级的剑

• 也就是说下一次合成\\(i\\)级剑，只需要合成\\(i-1\\)级剑，不需要再搞来一把\\(i-2\\)级剑

• 同理再画一棵期望树，每次成功的代价是\\(f[i-1]\\)，一开始就有的代价是\\(f[i-2]\\)

\\[f[i-2]+\\sum_i=1^∞f[i-1]p(1-p)^i-1\\]

• 根据已知的规律，所以\\(f[i]=f[i-1]\\over p+f[i-2]\\)

• 下次要好好动脑，\\(60pts\\)都想出来了，要想再深入一点，争取拿分

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code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXN 10000005
#define mod 998244353
#define ll long long
#define reg register int
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

int inv[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],f[MAXN];
int n,a,bx,by,cx,cy,p;

inline int read()

    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0' || '9'<ch)if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();
    while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;

inline int max(int x,int y)return x>y?x:y;
inline int min(int x,int y)return x<y?x:y;
int main()

    freopen("T1.in","r",stdin);
    //freopen("forging.in","r",stdin);
    //freopen("forging.out","w",stdout);
    n=read(),a=read(),bx=read(),by=read(),cx=read(),cy=read(),p=read();
    inv[1]=1;fo(i,2,p)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    b[0]=by+1,c[0]=cy+1,f[0]=a;
    fo(i,1,n)
    
        b[i]=((ll)b[i-1]*bx+by)%p+1;
        c[i]=((ll)c[i-1]*cx+cy)%p+1;
        ll tmp=(1ll*c[i-1]*inv[min(c[i-1],b[max(i-2,0)])])%mod;
        f[i]=(1ll*(f[max(i-2,0)]+1ll*f[i-1]*tmp%mod))%mod;
    
    printf("%d\\n",f[n]);
    return 0;