Codeforces 834D

Posted 2022-06-10 littlewyy

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题意

给你一个长度为n的序列，要求将其分成k段，每一段的贡献是这一段中不同的数的个数，求最大总贡献。

\(1\leq n \leq 35000,1\leq k \leq min(n,50)\)

题解

状态：\(f(i)(j)\)表示前\(i\)个数分成\(j\)段的最大贡献

转移：\(f(i)(j) = max_k=0^i-1f(k)(j-1)+w(k+1,i)\)

时间复杂度：\(O(n^2k)\)

观察转移方程，不难发现\(f(i)(j)\)的决策集合与\(f(i-1)(j)\)的决策集合有重合性；且附加值呈现区间性变化：所有\(w(k',i)\)比\(w(k',i-1)\)多1，其中\(k'\)在\(i\)的前一个同类元素\(pre(i)\)之后；其余\(w\)不变。

区间增加，最值查询，不妨考虑数据结构维护。

将\(f(i = 1 \rightarrow n )(j-1)\)全部载入线段树中。处理\(f(i)(j)\)时，在线段树中将\([pre(i) , i - 1]\)区间加1，再对\([0,i-1]\)取\(max\)即可。

时间复杂度：\(O(nlognk)\)。代码见此

另解

根据决策集合的重合性和附加值仅末尾一段增加的性质，不难得出一个结论：

\(f(i)(j)\)相对于\(f(i-1)(j)\)的最优决策点单调不左移。

当dp具有决策单调性时，可以使用分治法求解。

具体地，计算完\(f(1\rightarrow n)(j-1)\)后，整体地转移到\(f(1 \rightarrow n)(j)\)。对于\(f(l \rightarrow r)(j)\)的求解，令$mid = (l + r) /2 \(，暴力求出\)f(mid)(j)\(及其最优决策点\)dmid\(，则可确定\)f(l\rightarrow mid)(j)\(的决策点在\)dmid\(及其左边，\)f(mid +1 \rightarrow r)(j)\(的决策点在\)dmid$及其右边，递归下去求解即可。

分治至多\(logn\)层，每层时间复杂度\(O(n)\)。共进行\(k\)次分治求解。

时间复杂度：\(O(nlognk)\)。代码见此

实现上的细节问题：注意分治的意义在于决策区间被限定在\([ll,lr]\)，递归函数内注意循环的范围。另外，快速求解\([l,r]\)中不同数的种类数，可以使用差分+可持久化线段树。若每次计算\(w\)都调用线段树，复杂度会多一个log；实际上只需调用1次，计算出\([lr+2,mid]\)中不同数的个数，其余在从后往前枚举决策点时累加即可。