大衍求一术的计算方法
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了大衍求一术的计算方法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
引言
大衍求一术是秦九韶发明的一种求特殊一次同余式的方法,以下摘自百度百科
秦九韶,字道古,生活于南宋时期,自幼喜好数学,经过长期积累和苦心钻研,于公元1247年写成《数书九章》。这部中世纪的数学杰作,在许多方面都有创造,其中求解一次同余组的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负开方术”,更是具有世界意义的成就。
进入正题
对于形如ax ≡ 1 (mod n),(a,n) = 1的同余式,秦九韶的大衍求一术给出了一种优秀的解法。
注意a,n必须互素
第一步我们令k0 = 0,k1 = 1, r0 = n, r1 = a,(k叫乘率,也是最后答案)
第二步我们让 r0 和 r1 作带余除法,即 r0 = q2r1 + r2,
第三步我们用 r1 和 r2 作带余除法,即r1 = q3r2 + r3
...
直到出现rn = 1, 这时我们带回同余方程
定义kn = kn-2 - qnkn-1,依次回代求得kn即是同余方程的解
举个栗子
37x ≡ 1 (mod 73)
(37,73)=1,所以满足使用大衍求一术的条件
首先我们令k0 = 0,k1 = 1,r0= 73,r1=37
r0/r1: 73=37*1+36 =>q2=1,r2=36
r1/r2: 37=36*1+1 =>q3=1,r3=1
此时r3=1,停止除法,代回求解
k2=k0-q2k1,
k3=k1-q3k2
=>k3=2
因此37 x≡ 1 (mod 73)的解为
x ≡ 2 (mod 73)
代码实现
1 int dyqy(int a, int p) 2 3 if (__gcd(a, p) != 1) 4 return -1; //不能用大衍求一术 5 vector<int> k, r, q; 6 k.emplace_back(0), k.emplace_back(1); //k0=0,k1=1 7 r.emplace_back(p), r.emplace_back(a); //r0=p,r1=a 8 q.emplace_back(-1), q.emplace_back(-1); 9 int i = 0; 10 while (1) 11 12 int ra = r[i], rb = r[i + 1]; 13 int qtmp = ra / rb; 14 int rtmp = ra % rb; 15 q.emplace_back(qtmp); 16 r.emplace_back(rtmp); 17 ++i; 18 if (rtmp == 1) 19 break; 20 21 int sz = r.size(); 22 for (int i = 2; i < sz; i++) 23 24 int ktmp = k[i - 2] - k[i - 1] * q[i]; 25 k.emplace_back(ktmp); 26 27 return k.back(); 28
以上是关于大衍求一术的计算方法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章