大衍求一术的计算方法

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了大衍求一术的计算方法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

引言

大衍求一术是秦九韶发明的一种求特殊一次同余式的方法,以下摘自百度百科

秦九韶,字道古,生活于南宋时期,自幼喜好数学,经过长期积累和苦心钻研,于公元1247年写成《数书九章》。这部中世纪的数学杰作,在许多方面都有创造,其中求解一次同余组的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负开方术”,更是具有世界意义的成就。


 

进入正题

对于形如ax ≡ 1 (mod n),(a,n) = 1的同余式,秦九韶的大衍求一术给出了一种优秀的解法。

注意a,n必须互素

第一步我们令k= 0,k= 1, r= n, r= a,(k叫乘率,也是最后答案)

第二步我们让 r0  r1 作带余除法,即 r= q2r+ r2,

第三步我们用 r1 和 r2 作带余除法,即r1 = q3r2 + r3

...

直到出现r= 1, 这时我们带回同余方程

定义kn = kn-2 - qnkn-1,依次回代求得kn即是同余方程的解


 

举个栗子

37x ≡ 1 (mod 73)

(37,73)=1,所以满足使用大衍求一术的条件

首先我们令k0 = 0,k1 = 1,r0= 73,r1=37

r0/r1: 73=37*1+36 =>q2=1,r2=36

r1/r2: 37=36*1+1 =>q3=1,r3=1

此时r3=1,停止除法,代回求解

k2=k0-q2k1

k3=k1-q3k2

=>k3=2

因此37 x≡ 1 (mod 73)的解为

x ≡ 2 (mod 73)

 


 

代码实现

技术图片
 1 int dyqy(int a, int p)
 2 
 3     if (__gcd(a, p) != 1)
 4         return -1; //不能用大衍求一术
 5     vector<int> k, r, q;
 6     k.emplace_back(0), k.emplace_back(1); //k0=0,k1=1
 7     r.emplace_back(p), r.emplace_back(a); //r0=p,r1=a
 8     q.emplace_back(-1), q.emplace_back(-1);
 9     int i = 0;
10     while (1)
11     
12         int ra = r[i], rb = r[i + 1];
13         int qtmp = ra / rb;
14         int rtmp = ra % rb;
15         q.emplace_back(qtmp);
16         r.emplace_back(rtmp);
17         ++i;
18         if (rtmp == 1)
19             break;
20     
21     int sz = r.size();
22     for (int i = 2; i < sz; i++)
23     
24         int ktmp = k[i - 2] - k[i - 1] * q[i];
25         k.emplace_back(ktmp);
26     
27     return k.back();
28 
大衍求一术

 

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