一些数学题

Posted 2022-06-10 liulex

1.函数$f(x)$在$\left [ 0,1 \right ]$单调非增，证明：对于任何$\alpha \in(0,1)$:

$\int_0^\alphaf(x)dx  \geq  \alpha \int_0^1f(x)dx$

证明：即证 $(1-\alpha)\int_0^\alpha f(x)dx  \geq  \alpha \int_\alpha^1 f(x)dx$

          由$f(x)$单调不增，所以有$(1-\alpha)\int_0^\alpha f(x)dx  \geq   (1-\alpha)(\alpha) f(\alpha)$

          而$(\alpha)\int_\alpha^1 f(x)dx   \leq  (1-\alpha) (\alpha)f(\alpha)$

          所以结论成立

2.设$a,b>0,f(x) \geq 0$,且$f(x)$在[a,b]上可积，$\int_a^b xf(x) dx=0$求证：

$\int_a^bx^2f(x)dx\leq ab \int_a^bf(x)dx$

证明：构造一个$\int_a^b(x+a)(b-x) f(x)dx \geq 0 $