P4167 [Violet]樱花

Posted 2022-06-10 mysh

题目背景

又到了一年樱花盛开的时节。Vani 和妹子一起去看樱花的时候，找到了一棵大大的樱 花树，上面开满了粉红色的樱花。Vani 粗略估计了一下，一共有足足  n! 片花瓣。

Vani 轻柔地对她说：“你知道吗？这里面的一片花瓣代表着你，我从里面随机摘一片，能和你相遇的概率只有1/n!那么小。我该是多么的幸运，才让你今天这么近地站在我面前。

相信我，我一定会把这亿万分之一的缘分变为永远。”

粉红的樱花漫天飞舞，妹子瞬间被 Vani 感动了。她轻轻地牵起了他的手，和他相依而 坐。这时，她突然看到田野的尽头也长着两棵樱花树，于是慢慢地把头靠在 Vani 的肩上，在他耳边低语：“看到夕阳里的那两棵樱花树了吗？其中一棵树上的一片花瓣是你，另一棵树上的一片花瓣是我，如果有人从这棵摘下一片，从那棵采下一瓣，我们相遇的概率会不会正好是1/n!呢？”

Vani 的大脑飞速运作了一下，立即算出了答案。正要告诉妹子，她突然又轻轻地说：“以 前你总是说我数学不好，但是这种简单的题我还是会算的。你看假如左边那棵树上有 x片花

瓣，右边那个有 y 片花瓣，那么我们相遇的概率不就是1/x+1/y么，不过有多少种情况能使

它正好可以等于1/n!呢？这个你就帮我算一下吧～”

显然，面对天然呆的可爱妹子，Vani 不但不能吐槽她的渣数学，而且还要老老实实地 帮她算出答案哦。

题目描述

求不定方程

?1/x+1/y=1/n!

的正整数解(x,y)的数目。

输入格式

一个整数n。

输出格式

一个整数，表示有多少对 (x,y) 满足题意。答案对10^9+7取模。

输入输出样例

输入 #1

2

输出 #1

3 

说明/提示

样例说明

共有三个数对(x,y)满足条件，分别是 (3,6)(4,4)和(6,3)。

数据范围与约定 对于 30% 的数据，保证n≤100。

思路

共有三个数对(x,y)满足条件，分别是 (3,6)(4,4)和(6,3)。

对(n!)^2唯一分解的时候,最暴力的做法是直接分解,也就是对每一个n,枚举每个小于sqrt(n)的质数,时间复杂度为O(sqrt(n)*)

代码：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1000010;
const int Mod=1e9+7;

int n,ans;
long long fj[N],v[N];
long long p[N],tot=0;

void work(int n) 
	memset(p,0,sizeof(p));
	memset(v,0,sizeof(v));
	tot=0;
	for(int i=2; i<=n; i++) 
		if(!v[i]) 
			v[i]=i;
			tot++;
			p[tot]=i;
		
		for(int j=1; j<=tot; j++) 
			if(i*p[j]>n||v[i]<p[j])
				break;
			v[p[j]*i]=p[j];
		
	


int main () 
	scanf("%d",&n);
	work(n);
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=i; j!=1; j/=v[j]) 
			++fj[v[j]];
			fj[v[j]]%=Mod;
		
	ans=1;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		ans=(ans*(fj[i]<<1|1))%Mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;