求逆元

Posted 2022-06-10 loganacmer

逆元

如果b*c mod p等于 1，那么c就叫做b模p的逆元 

(a/b) mod p的值等于 a*(b模p的逆元)，具体推导可以根据逆元的定义推

 

这里介绍求逆元的两种方法

 

费马小定理求逆元

费马小定理：如果a与p互质，那么a^(p-1)模p=1

把这个公式拆开 a*a^(p-2)模p=1,这时a^(p-2)就为逆元

 

快速幂求a^(p-2)

long long power(long long a,long long p)//求a的p次方 

    long long base = a,ans = 1;
    while(p)
    
        if(p%2)
            ans = ans*base%mod;
        base = base*base%mod;
        p/=2;
    
    return ans;

 

扩展欧几里得求逆元

　　扩展欧几里得可以用于求a*x+b*y = c的不定方程，这里把模p看做b，那么逆元就是最后求得的x的值

 

看一道模板题

 

你在一栋楼房下面，楼房一共有n层，第i层每秒有p_i的概率会扔下一个东西并砸到你
求第一秒内你被砸到的概率(答案模10^9+7)

 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y)

    if(b==0)
    
        x = 1;
        y = 0;
    
    else
    
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=x*(a/b);
    

ll ni(ll a,ll b)

    ll x = 0,y = 0;
    exgcd(b,mod,x,y);      
    return (a*x%mod+mod)%mod;  

int main()

    ll n,up = 1,down = 1,c1,c2;
    cin>>n;
    while(n--)
    
        scanf("%d%d",&c1,&c2);
        c1 = c2-c1;
        up = up*c1%mod;
        down= down*c2%mod;
    
    cout<<ni(down-up,down);                          
    return 0;