P3166 [CQOI2014]数三角形

Posted 2022-06-09 mysh

题目描述

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。注意三角形的三点不能共线。

输入格式

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

输出格式

输出一个正整数，为所求三角形数量。

输入输出样例

输入 #1

2 2

输出 #1

76

说明/提示

数据范围

bzoj上是1<=m,n<=1000

思路

• 每个顶点都在格点上的三角形，有且只有一个可以被它完全覆盖的网格。所以只要求出原矩形当中所有子矩形的完全覆盖三角形的数量，就可以不重不漏地找出顶点都在格点上的三角形。

  ——但是子矩形好多啊，枚举左上角和右下角，至少是n^2m^2的数量级哇qwq

  ——注意到我们并不关心每个子矩形的位置，而只关心它们的长宽，以及长宽均相同的矩形的数目，所以枚举子矩形的长 i 和宽 j，则i∗j的矩形数量为(n−i+1)∗(m−j+1)，子矩阵数量级降为nm。

  至此，原问题转化为

  给定网格的长宽，迅速求解完全覆盖网格的三角形的数目

• 显然对于一个i∗j的网格(这里i，j指的是空格的数量而非格点，上图i=6,j=10)，固定顶点的位置有四种，每种对应的另外两个顶点的位置有(i−1)∗(j−1)种(B C不能与N P Q重合)，共4∗(i−1)∗(j−1)种。

  分析两个顶点在MNPQ角上的情况。不妨设A与M重合。此时另外一个角上的点（不妨设为点B）有三种情况：

  1、B与N重合。此时C一定在QP上。共(i−1)种情况。

  2、B与Q重合。此时C一定在NP上。共(j−1)种情况。

  3、B与P重合。

  这是比较麻烦的一种状态，因为此时C点可以在网格中能构成三角形的任意一处。但是我们注意到，如果线段AB除了经过M P之外，还经过了一些其他格点，C是不能与它们重合的。

  那么有多少个格点被AB穿过呢qwq？

  显然，不包括A本身，有gcd(i,j)−1个（至于为什么，请读者自己思考）

  所以第三种情况的方案数是(i+1)∗(j+1)−4−gcd(i,j)+1（这里−4是因为C点不能放在网格的四个角上）。

  注意到以上三种情况都可以反转，从而得到另一组与其一一对应的方案。

  分析三个顶点在MNPQ角上的情况。显然只有四种。

  综上，对于一个长宽为i,j的网格，可以把它完全覆盖的三角形的个数

  S=4∗(i−1)∗(j−1)+2∗[(i−1)+(j−1)+(i+1)∗(j+1)−4−gcd(i,j)+1]+4

  =6∗i∗j−2∗gcd(i,j)

  枚举子矩阵的复杂度为mn，单次求解gcd的复杂度为log(m+n),总复杂度O(mnlog(m+n)),实际运行跑的飞起。

  转自洛谷大佬https://www.luogu.org/blog/suwakow/solution-p3166

代码：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long n,m,ans=0;

long long gcd(long long a,long long b) 
	if(a<b)
		swap(a,b);
	if(a%b==0)
		return b;
	else
		return gcd(b,a%b);


int main () 
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(long long i=1; i<=n; i++)
		for(long long j=1; j<=m; j++)
			ans+=(n-i+1)*(m-j+1)*(6*i*j-2*gcd(i,j));
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;