数论公式总结

Posted 2022-06-09 danzh

目录

• 1.中间式子&常用技巧
• 2.gcd相关
• 3.d相关(d是约数个数函数)
• 4.mu相关(mu是莫比乌斯函数)
• 5.sigma相关(sigma是约数和函数)
• 6.因子相关
• 更新中...

1.中间式子&常用技巧

\[[n==1]=\sum_d|n\mu (d)\]

这个式子用来替换条件式，从而降低复杂度

\[\sum_i=1^n\sum_j=1^[\frac ni]f(i)=\sum_i=1^n\sum_j=1^[\frac ni]f(j)\]

被加数可以任意以\(i\)或\(j\)作为索引

\[\sum_i=1^n\sum_j=1^[\frac ni]f(ij)*g(i)*h(j)=\sum_k=1^nf(k)*\sum_d|kg([\frac kd])h(d)\]

令\(k=ij\)，然后枚举\(k\)。这里的\(i\)可以不从1枚举到n，可以是任意数，前提是保证后面的d和i性质一样(比如i是[1,n]范围内的质数，那么d|k且d是质数)，且计算时保证关于i的函数和关于d的函数是同一性质（还是刚才的例子，式子左边是g(i)，右边以d作为自变量的也应该是g而不应该是h，但如果i是顺序从1枚举到n则没有这个限制）

2.gcd相关

\[\sum_i=1^n\sum_j=1^n[gcd(i,j)==x]=2*pre\phi([\frac nx]) -1\]
\[\sum_i=1^n\sum_j=1^m[gcd(i,j)==x]=\sum_d=1^[\frac nx]\left( \mu(d)*[\frac ndx]*[\frac mdx]\right)\]
\[\sum_i=1^n\sum_j=1^ngcd(i,j)=\sum_d=1^n\left(2d*pre\phi[\frac nx]-d\right)\]
\[\sum_i=1^n\sum_j=1^mgcd(i,j)=\sum_x=1^n\left(x*\sum_d=1^[\frac nx]\left( \mu(d)*[\frac ndx]*[\frac mdx]\right)\right)\]

3.d相关(d是约数个数函数)

\[d(i*j)=\sum_x|i\sum_y|j[gcd(x,y)==1]\]
\[\sum_i=1^n\sum_j=1^md(i*j)= \sum_d=1^n\left(\mu(d)*pred([\frac nd])*pred([\frac md])\right)\]

4.mu相关(mu是莫比乌斯函数)

\[\sum_i=1^n\sum_j=1^[\frac mi]ij\mu(i)=1\]

5.sigma相关(sigma是约数和函数)

\[\sum_i=1^n\sum_j=1^m\sigma(gcd(i,j))=\sum_x=1^n\sigma(x)\sum_d=1^[\frac nx]\left( \mu(d)*[\frac ndx]*[\frac mdx]\right)\]
\[\sum_i=1^n\sum_j=1^m\sigma(gcd(i,j))*[\sigma(gcd(i,j))<=a]=\sum_k=1^n[\frac nk][\frac mk]g(k),其中g(k) =\sum\limits_d|k\sigma(d)*[\sigma(d)<=a]\mu([\frac kd])\]

这里分块，然后\(g(k)\)的区间和用线段树维护，每次\(a\)修改，用线段树给\(g(k)\)修改

6.因子相关

\[f(x)=\sum\limits_i=1^[sqrt(x)]\mu(i)*[\fracxi^2]\]

[1,x]范围内所有数不含平方因子的数的数量

更新中...