CH109 Genius ACM 题解报告

Posted 2022-06-09 thwzf

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【题目大意】

【思路分析】

首先显然可知，当一段区间内选出的$M$对数分别是，最大和最小一对，次大和次小一对，……，第$M$大和第$M$小一对，此时的“校验值”最大，如果这段区间的最大“校验值”满足条件了，那么这个区间就是合法的。我们考虑将数列$A$从头开始分段，在满足每段区间合法的情况下让区间尽量包含更多的数，到达结尾时整个数组分成的段数就是答案。

于是我们要解决的问题就是，当确定一个区间的左端点$L$后，右端点$R$在满足$A[L]～A[R]$的“校验值”不超过$T$的情况下，最大能取到多少。

求长度为$N$的一段区间的“校验值”需要排序配对，时间复杂度为$O(N*log_2N)$。当“校验值”上限$T$比较小时，如果在整个$L～N$的区间上二分右端点$R$，二分的第一步就要检验$(N-L)/2$这么长的一段，最终右端点$R$却可能只扩展了一点，浪费了很多时间，于是我们考虑使用倍增算法。

倍增过程如下：

1.初始化：$p=1,R=L$

2.求出$[L,R+p]$这一段区间的“校验值”，若$\\le T$，则$R+=p,p*=2$，否则$p/=2$

3.重复上一步，直到$p$的值变为0，此时$R$即为所求

【代码实现】

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #define rg register
 5 #define ll long long
 6 #define go(i,a,b) for(rg int i=a;i<=b;i++)
 7 using namespace std;
 8 const int N=500002;
 9 int K,n,m,a[N],b[N],c[N];
10 ll t;
11 bool check(int l,int mid,int r)
12     go(i,mid,r) b[i]=a[i];
13     sort(b+mid,b+r+1);
14     int i=l,j=mid;
15     go(k,l,r)
16         if((i<=mid-1&&b[i]<b[j])||j>r) c[k]=b[i++];
17         else c[k]=b[j++];
18     i=l,j=r;int num=min(m,(r-l+1)/2);ll sum=0;
19     while(num--)
20         sum+=(ll)(c[i]-c[j])*(c[i]-c[j]),i++,j--;
21     if(sum<=t)
22         go(i,l,r) b[i]=c[i];
23         return 1;
24     
25     return 0;
26 
27 int main()
28     scanf("%d",&K);
29     while(K--)
30         scanf("%d%d%lld",&n,&m,&t);
31         go(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
32         int l=1,r=1,p=1,ans=0;b[1]=a[1];
33         while(l<=n)
34             if(r+p<=n&&check(l,r+1,r+p)) r+=p,p*=2;
35             else p/=2;
36             if(!p||r==n) ans++,l=++r,p=1,b[l]=a[l];
37         
38         printf("%d\\n",ans);
39     
40     return 0;
41 

代码实现