FFT的应用

Posted 2022-06-08 guoshaoyang

FFT的应用

概述

FFT的模板很简单，大家都会背，于是出题的空间就在于建模了。FFT的题目难在建模，往往需要将问题抽象出来，经过一系列转化后得到乘积式的和，再赋予式子各个项的系数一定的意义即可。

基本形式

对于类似\(\sum_i+j=N+ka_ib_j\)的式子，可以直接通过FFT计算。
其中N是定值，表示元素个数；k是变量，是题目中的系数，a和b是间接已知数组，当a与b的系数和为定值时，可将一个翻转，否则直接计算。

例题：P3723?[AH2017/HNOI2017]礼物

直接计算卷积

一些问题经过简单的推导即可推出可以用计算卷积来解决，这类问题多形如对所有不大于\(n\)的\(k\)求出某个东西，其中\(k\)的答案为求某个卷积后结果数组的第\(k\)项。

例题：CF993E

给出一个大小为\(n\)的数组\(a\)和一个数\(x\)，对于\(0\)和\(n\)之间的所有\(k\)，求有多少个\(a\)的区间中恰有\(k\)个数小于\(x\)。
\(1\leq n\leq 2 \times 10^5, -10^9\leq x,ai \leq 10^9\)

多项式运算

多项式乘法可以用来表示卷积，而借助多项式的性质，可以分析并解决类型更为广泛的问题。其中，最典型的例子是利用生成函数解决组合计数问题，这往往可以简化推导过程，有时还可以借助专用算法优化复杂度。

字符串匹配

代通配符的字符串匹配

设\(s,t\)为字符串，其中\(t\)中某些字符是通配符，可以匹配任意字符，求\(s\)在\(t\)中的所有匹配的位置。将通配符设为\(0\)，其余字符设为非\(0\)的数，则\(s\)在\(k\)处匹配当且仅当
\[\sum_0\leq i < |s|t_i+k(s_i-t_i+k)^2=0\]
结合计算卷积，很容易算出左式，即可完成匹配

模板：P4173 残缺的字符串

要求匹配两个字符串A,B，两者都有通配符

\[\sum_0\leq i < |s|t_i+ks_i(s_i-t_i+k)^2=0\]

例题：CF528D Fuzzy Search

给出字符串\(s,t\)和非负整数\(d\)，求有多少个\(k\)，满足对于所有\(s\)的下标\(i\)，都存在距离\(k+i\) 不大于\(d\)的\(j\)，使得\(s_i = t_j\)。\(1\leq |s|,|t|, k\leq 2\times 10^5\)，字符集大小为\(4\)。