北京理科

Posted 2022-06-08 eufisky

\beginframe2019年北京高考
\beginexampleblock2019年北京理科高考试题
数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线$C:x^2+y^2=1+|x|y$就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
\beginenumerate%[align=left,labelsep=-0.6em,leftmargin=1.2em,noitemsep,topsep=0pt]
\item[\ding172] 曲线$C$恰好经过$6$个整点(即横、纵坐标均为整数的点);

\item[\ding173] 曲线$C$上任意一点到原点的距离都不超过$\sqrt2$;

\item[\ding174] 曲线$C$所围成的“心形”区域的面积小于$3$.
\endenumerate
其中,所有正确结论的序号是
\begintasks(2)
\task \ding172
\task \ding173
\task \ding172\ding173
\task \ding172\ding173\ding174
\endtasks
\endexampleblock

\textbf解.事实上,利用均值不等式可知
\[1+|x|y=x^2+y^2\geq 2|xy|.\]
若$y\geq 0$为整数,则$1+|x|y\geq 2|x|y$,则$|x|y\leq 1$.当$x=0$时, $(x,y)= (0,1)$; 当$x\neq 0$时,必有$y=0$或$1$,于是$(x,y)=(-1,0),(1,0),(-1,1)$或$(1,1)$.

若$y<0$为整数,则$1+|x|y\geq -2|x|y$,则$-3|x|y\leq 1$,则必有$x=0$时, 于是$(x,y)= (0,-1)$.

综上所述,曲线$C$恰好经过$6$个整点$(x,y)=(0,-1),(0,1),(-1,0),(1,0),(-1,1)$或$(1,1)$,也就是图中的$A,B,C,D,E,F$这六个点.故选项\ding172正确.
\endframe
\enddocument

\beginframe123
利用极坐标代换$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$可将曲线$C$的方程$x^2+y^2=1+|x|y$改写为$r^2=1+r^2|\cos\theta|\sin\theta$,因此
\[r^2=\frac11-|\cos\theta|\sin\theta\leq \frac11-|\cos\theta\sin\theta|=\frac11-\frac12|\sin(2\theta)|\leq 2,\]
于是$r\leq \sqrt2$,即曲线$C$上任意一点到原点的距离都不超过$\sqrt2$,如图, 以原点$O$为圆心, $OB$为半径的圆可以覆盖该心形,因此曲线$C$上$B(1,1)$到原点的距离达到最大值$\sqrt2$.故选项\ding173正确.

又因为该心形区域的面积大于多边形$ABCDEF$的面积,也就是大于$3$.故选项\ding174错误.

因此正确的答案为(C).

进一步,我们可利用大学数学中的微积分知识得到心形区域面积的精确值:
\[S=2\int_-\frac\pi2^\frac\pi2\frac12\left( \frac11-\cos \theta \sin \theta \right) ^2d\theta=\frac8\pi3\sqrt3\approx 4.8368\cdots\]
\endframe