XJOI 高三楼

Posted 2022-06-08 huangchenyan

参观完各种饭堂，学校还有什么著名的景点呢？当然是教室了，此时此刻我

们来到了高三楼。你会发现高三楼门口会有以身份认证系统，这东西还有着一段
疼人的历史。
每年的九月到来，高三的童鞋大多不习惯学校的作息时间，有人迟到的情况
在所难免，2013 届的moreD 同志作为当年的纪检部部长，创造了一种十分厉
害的身份认证系统。他会给每位童鞋的饭卡加上一个电子认证信息：一个n*n
的矩阵，其中，每行每列都有两个特殊的点。moreD 同志设计的身份认证系统
会把这些矩阵读进来，并且对此进行解析，由于每个同学都带有独特的矩阵，系
统就可以在0.00001s 内认证出童鞋的身份。这样迟到的童鞋被登记的速度就会
加快（刷卡嘛），大家上课的时间就不会耽误了，简单、快捷、方便统计。这一
切都要感谢moreD 神牛。
但是，有一个IQ 超高的，经常迟到的童鞋，为了不扣分，他破解了moreD
的身份认证系统，并对自己的认证信息做了更改。moreD 得知这个消息后立即
对此等不良bug 进行改进。
他发现对于一些矩阵，只要把与之“重复”的矩阵取出，假身份认证信息的制造
率会降低很多。
“重复”的定义为矩阵a，通过任意次行列变换，变成了矩阵b，矩阵a,b
就视为重复。
例如：对于3*3 的矩阵，其中矩阵a 与矩阵b 被视为“重复”矩阵。


moreD 想知道对于一个n，可以有多少种不“重复”的矩阵，来填写不同
学生的信息，moreD 忙着更改身份认证系统，这个艰巨的任务就交给你了,你只
需要输出答案mod 100000007 的值就可以了，因为高一的学生可没有这么多。

输入格式：

第一行，一个整数t，表示数据组数。
接下来t 行，每行一个整数n，表示一组数据。

输出格式：

T 行，每行一个整数，表示方案数。由于答案可能很大，只需要输出方案数
mod 100,000,007 的值就可以了。

样例输入：

3
2
3
4

样例输出：

1
1
2

数据范围：

对于10%的数据 N≤5；
对于50%的数据 N≤150；
对于100%的数据T≤5 N≤2,000。

时间限制：

1S

空间限制：

256M

 

图论+数论+DP

比赛时暴力打表过了10分

那么先推结论

对于原来矩形上每一行每一列，分别看作一个点

那么对于矩形上的点，在对应的行和列的点连一条边

那么得到的图为一个二分图，点数为$2*n$，边数为$2*n$

因为矩形可以进行行列变化，那么答案就是这种二分图，在本质上不同的图的个数

而本质不同的二分图是不能通过交换列集或行集中的点，且不改变边的连接方式由其他二分图得到的

如上图，这两个二分图是本质相同的

那么可以发现如果两个二分图只要联通块的大小和个数不同那么它们就一定是本质不同的

而题目中保证每一行每一列必须有2个点

那么二分图中最小的联通块应该是2

那么最终的答案就是将n正整数拆分（正整数要大于等于2）的方案数

DP即可，枚举之前的数拆分方案累加即可

#include <bits/stdc++.h>
#define mod 100000007
using namespace std;
int t,n,dp[2100];
int main()

    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    
        scanf("%d",&n);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0]=1;
        for (int i=2;i<=n;i++)
        
            for (int j=i;j<=n;j++)
            
                dp[j]=(dp[j]+dp[j-i])%mod;
            
        
        printf("%d\\n",dp[n]);