特殊的线性表：递归

Posted 2022-06-07 mzhaox

   介绍完数组和链表，以及两个特殊的线性结构栈和队列后，已经算是迈入了数据结构的门了，后面很多其他更复杂的数据结构都会基于数组和链表来实现，比如散列表、树、图等，有些甚至需要结合数组和链表来实现，在继续介绍后续复杂的数据结构之前，我们穿插进来一些常见的排序算法和查找算法，在系统介绍这些算法之前，我们先来一道前菜：递归。

   递归算不上任何数据结构和算法，但确实是一种很重要的编程技巧，很多算法也会用到递归来实现，比如归并排序、快速排序、二分查找等。

   递归，简单来讲就是在函数定义中调用函数自身，从我们之前学习数学解题经验来讲，就是将一个大的问题拆分成多个小问题，逐一击破后最后归并结果。

   我们判断一个问题是否可以通过递归来解决，主要看它是否满足以下三个条件：

     1、一个问题的解可以分解为几个子问题的解

     2、这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样

     3、存在递归终止条件 递归一定要有终止条件，否则会导致函数被无限调用最终致使内存溢出。

   通过以上分析，我们可以整理出递归代码的编写思路：写出递归公式，找到终止条件。有句话叫做「人理解迭代，神理解递归」，说的就是递归代码可读性不好，理论上看，递归代码都是可以转化成迭代实现的，但是递归代码更简洁，更显逼格，我们在通过递归实现代码的时候，切忌试图通过人脑去分解每个步骤，那样会把自己搞晕的，这种重复迭代的事情交给计算机去做，我们要做的就是抽象出规律，写递归公式，找终止条件，再把它们转化为递归代码，就完事了。

   说了这么多，最后通过一个案例来帮助你去理解和实际运用。递归的应用案例很多，比如经典的汉诺塔、斐波那契数列等，我们以斐波那契数列来演示下递归代码的编写，斐波那契数列是这样一组数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …(你可以去网上搜一下了解下这个数列的现实由来），求第n个数列的值。

   按照我们前面列出的递归问题解题思路，首先抽象出这组数列的一般规律，将其整理成递归公式，会得出如下结论（索引从0开始，即第零项）：

     F0 = 0

     F1 = 1

     ...

     F(n) = F(n-1) + F(n-2)

    这样，我们同时有了终止条件和递归公式，接下来，就是将其转化为递归代码了：

<?php
/**
 * 通过递归实现斐波那契数列
 */
function fibonacci($n)

    if ($n == 0) 
        return 0;
    
    if ($n == 1) 
        return 1;
    
    return fibonacci($n - 1) + fibonacci($n - 2);



print fibonacci(5);  # 5
print fibonacci(8);  # 21

   通过递归，我们用非常简洁的代码就实现了复杂的斐波那契数列的求解，如果要用迭代来实现这个逻辑，不定要写多少代码呢。

   编写递归代码时有两个注意事项，一个是警惕堆栈溢出，为此要设定好终止条件和合理的递归层数，另一个是防止重复计算，因此，递归公式要经过认证求证，不能凭感觉贸然下手编码，不然真的会失之毫厘，谬以千里。