LuoGuP3321:[SDOI2015]序列统计

Posted 2022-06-07 chitongz

Pre

错误百出。

第一次打多项式快速幂。

Solution

可以发现用多项式优化动态规划的转移。

每加入一个数，就乘上一个多项式(其实这个多项式有一点像生成函数，指数表示的数模意义下的值，系数表示的是方案的数量)。

这样就可以用多项式快速幂优化了。

于是我就\(WA\)了一发。

设\(f(i,j)\)表示已经有\(i\)个数，并且指数为\(j\)的时候的系数值。

\(f(i,j)-\sum\limits_m*n=jf(i-1,m)*f(i-1,n)\)

于是貌似不可做。

我尝试着从修改\(NTT\)的运算过程的角度思考，但是失败了。

看题解发现

敲黑板重点

设\(g\)是\(m\)的原根

\(f(i,log_gj)=\sum\limits_loh_gm+log_gn=log_gjf(i-1,log_gm)*f(i-1,log_gn)\)

可做。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define xx first
#define yy second
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 17000 + 5, mod = 1004535809;
int nn, nm, x, s, n, bit, rg;
int f[N], g[N], h[N], val[N], rev[N];
inline int solve (int);
inline int mul (int u, int v) return 1LL * u * v % mod;
inline int add (int u, int v) return u + v >= mod ? u + v - mod : u + v;
inline int mns (int u, int v) return u - v < 0 ? u - v + mod : u - v;
inline int qpow (int u, int v, int md) int tot = 1, base = u % md;while (v) if (v & 1) tot = 1LL * tot * base % md;base = 1LL * base * base % md;v >>= 1;return tot;
inline void solve2 ();
inline void ntt (int *a, bool flag) 
    for (int i = 0; i < n; ++i) 
        rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (bit - 1));
        if (i > rev[i]) swap (a[i], a[rev[i]]);
    
    for (int l = 2; l <= n; l <<= 1) 
        int wi = qpow (flag ? qpow (3, mod - 2, mod) : 3, (mod - 1) / l, mod);
        int m = l / 2;
        for (int *k = a; k != a + n; k += l) 
            int w = 1;
            for (int i = 0; i < m; ++i) 
                int tmp = mul (k[i + m], w);
                k[i + m] = mns (k[i], tmp);
                k[i] = add (k[i], tmp);
                w = mul (w, wi);
            
        
    
    int inver = qpow (n, mod - 2, mod);
    for (int i = 0; i < n && flag; ++i) 
        a[i] = mul (a[i], inver);
    

inline void work (int *a, int *b) 
    ntt (a, false);
    ntt (b, false);
    for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = mul (a[i], b[i]);
    ntt (a, true);
    ntt (b, true);
    for (int i = nm - 1; i < (nm - 1) * 2; ++i) a[i - (nm - 1)] = add (a[i - (nm - 1)], a[i]), a[i] = 0;

inline void fpow (int k) 
    while (k) 
        if (k & 1) work (f, g);
        for (int i = 0; i < n; ++i) h[i] = g[i];
        work (g, h);
        k >>= 1;
    

int main () 
    scanf ("%d%d%d%d", &nn, &nm, &x, &s);
    n = 1, bit = 0;
    while (n <= nm - 1) n <<= 1, ++bit;
    n <<= 1, ++bit;
    rg = solve (nm);
    solve2 ();
    for (int i = 1; i <= s; ++i) int tmp; scanf ("%d", &tmp); if (tmp % nm == 0) continue; g[val[tmp % nm]]++;
    f[val[1]] = 1;
    fpow (nn);
    printf ("%d\n", f[val[x]]);
    return 0;

inline void solve2 () 
    int tg = 1;
    for (int i = 0; i < nm - 1; ++i) 
        val[tg] = i;
        tg = 1LL * tg * rg % nm;
    

int q[N], top;
inline int solve (int p) 
    top = 0;
    int x = p - 1;
    for (int i = 2; i * i <= x; ++i) 
        if (x % i == 0) 
            q[++top] = i;
            while (x % i == 0) 
                x /= i;
            
        
    
    if (x > 1) q[++top] = x;
    for (int i = 2; ; ++i) 
        bool flag = true;
        for (int j = 1; j <= top; ++j) 
            if (qpow (i, (p - 1) / q[j], nm) == 1) flag = false;
        
        if (flag) 
            return i;
        
    

Conclusion

即使看了题解也不能很快做出来。

首先注意多项式乘法，就是\(work()\)函数，一定要把\(b\)数组还原(可能就我一个人错吧)；

其次注意求原根的时候

if (x > 1) q[++top] = x;

一定是\(>1\)