圆方树总结

Posted 2022-06-07 nanjoqin

• 圆方树：一种将由图转化而成的树，从而大大了增加题目的可解性，且大多广泛用于仙人掌图中。

• 针对仙人掌图上的圆方树：仙人掌是指一条边至多只被一个环包含的无向图。

• 树上的点：圆方树上分为两类点，一类是圆点，一类是方点。圆点即原图中所有的点，方点即为了去环而新添加进去的，满足一定性质的点。

• 构造思路：圆圆边直接加入，对于仙人掌中的任意一个环，每个环上的点在圆方树上对应的圆点向这个环对应的方点连边，方点为一个新建节点。

• 环的根：指定一个圆点为圆方树的根，把方点的父亲叫做这个方点对应的环的根。

• 圆方边边权：若一个在环上的圆点不是环的根，它到对应方点的边权为到环的根的最短距离，环的根到环所对应的方点的边权为零。

解题：

• 多数是为了可以用树上的算法，例如倍增、树剖解决问题，以两点间路径的问题为例：

• 若 \(lca\) 是圆点，那么答案就是路径上的贡献；

• 若 \(lca\) 是方点，则找到进入这个环的两个点，这两个点之间的有两条路径，选择合题意的一条加入贡献。

• 在树链剖分中，进入一个环的两个点有两种情况：一是一个为 \(dfs\) 序比 \(lca\) 大 \(1\) 的点，即 \(lca\) 所在重链上的儿子，另一个为最后经过的 \(top\)；二是最后经过的两个 \(top\)。

洛谷模板题：

#include <cmath>
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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 40000 + 10;
int n, m, q, head_g[maxn], head_t[maxn], st[17][maxn], edge_num_g, edge_num_t, dfn_num, col_num, top;
int dfn[maxn], low[maxn], sta[maxn];
long long deep[maxn], dis[maxn], sum[maxn], sccsum[maxn];

struct Edge  int v, nxt; long long w;  edge_g[maxn << 2], edge_t[maxn << 2];

inline void Add_edge_g(int u, int v, long long w) 
  edge_g[++edge_num_g].v = v, edge_g[edge_num_g].w = w, edge_g[edge_num_g].nxt = head_g[u], head_g[u] = edge_num_g;


inline void Add_edge_t(int u, int v, long long w) 
  edge_t[++edge_num_t].v = v, edge_t[edge_num_t].w = w, edge_t[edge_num_t].nxt = head_t[u], head_t[u] = edge_num_t;


inline void Tarjan(int x, int p) 
  dfn[x] = low[x] = ++dfn_num, sta[++top] = x;
  for(int i = head_g[x]; i; i = edge_g[i].nxt) if( edge_g[i].v != p ) 
    if( dfn[edge_g[i].v] == 0 ) 
      sum[edge_g[i].v] = sum[x] + edge_g[i].w, Tarjan(edge_g[i].v, x), low[x] = min(low[x], low[edge_g[i].v]);
      if( low[edge_g[i].v] > dfn[x] ) Add_edge_t(x, edge_g[i].v, edge_g[i].w), Add_edge_t(edge_g[i].v, x, edge_g[i].w);  // 树边，圆圆边加入
    
    else if( dfn[edge_g[i].v] < low[x] )   // 返祖边，得环，建立方点及圆方边
      sccsum[++col_num] = sum[x] - sum[edge_g[i].v] + edge_g[i].w;  // 得环长，col_num 认为是方点编号
      for(int j = top; sta[j] != edge_g[i].v; --j) 
        int _w = min(sum[sta[j]] - sum[edge_g[i].v], sccsum[col_num] - sum[sta[j]] + sum[edge_g[i].v]); // 到此环的根的距离，即圆方边边权
        Add_edge_t(n + col_num, sta[j], _w), Add_edge_t(sta[j], n + col_num, _w);
      
      Add_edge_t(n + col_num, edge_g[i].v, 0), Add_edge_t(edge_g[i].v, n + col_num, 0); // 环的根所对应的圆方边权为 0
      low[x] = dfn[edge_g[i].v];
    
  
  --top;


inline void Deep_fs(int x, int p) 
  for(int i = 1; i < 17; ++i) st[i][x] = st[i - 1][st[i - 1][x]];
  for(int i = head_t[x]; i; i = edge_t[i].nxt) if( edge_t[i].v != p ) 
    st[0][edge_t[i].v] = x;
    dis[edge_t[i].v] = dis[x] + edge_t[i].w, deep[edge_t[i].v] = deep[x] + 1, Deep_fs(edge_t[i].v, x);
  


inline long long Querry(int x, int y) 
  int lca = 0, res = dis[x] + dis[y];
  if( deep[x] < deep[y] ) swap(x, y);
  for(int i = 16; i >= 0; --i) if( deep[st[i][x]] >= deep[y] ) x = st[i][x];
  if( x == y ) lca = x;
  else 
    for(int i = 16; i >= 0; --i) if( st[i][x] != st[i][y] ) x = st[i][x], y = st[i][y];
    lca = st[0][x];
  
  if( lca <= n ) return res - (dis[lca] << 1);
  if( dfn[x] > dfn[y] ) swap(x, y);
  return res - dis[x] - dis[y] + min(sum[y] - sum[x], sccsum[lca - n] - sum[y] + sum[x]);


int main(int argc, char const *argv[])

  scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
  for(int u, v, w, i = 1; i <= m; ++i) scanf("%d%d%d", &u, &v, &w), Add_edge_g(u, v, w), Add_edge_g(v, u, w);
  deep[1] = 1, Tarjan(1, 0), Deep_fs(1, 0);
  for(int u, v, i = 1; i <= q; ++i) scanf("%d%d", &u, &v), printf("%lld\n", Querry(u, v));

  return 0;