SDOI 2014数表

Posted 2022-06-06 scx2015noip-as-php

 题意

　　https://www.luogu.org/problem/P3312

 题解

　　显然就是求 $\sum_i=1^n \sum_j=1^m \sigma_1(\gcd(i,j))\times [gcd(i,j)\le a]$（$\sigma_1(x)$ 表示求 $x$ 的所有约数之和），看到 $gcd$ 就知道是莫比乌斯反演基础题吧

　　如果不考虑 $a$ 的限制，这就是推一遍莫反的模板题，那先不考虑

　　原式变为$$\sum_i=1^n \sum_j=1^m \sigma_1(\gcd(i,j))$$

　　根据套路枚举约数 $$\sum_d=1^n \sum_i=1^n \sum_j=1^m \sigma_1(d)\times [gcd(i,j)=d]$$

　　把 $\sigma_1$ 挪到前面，并用经典公式 $\sum_d|n \mu(d) = [n=1]$ 对最后的一个 sigma 反演 $$\sum_d=1^n \sigma_1(d)\sum_i=1^\lfloor\fracnd\rfloor \sum_j=1^\lfloor\fracmd\rfloor \sum_d|\gcd(i,j) \mu(d)$$

　　$$\sum_d=1^n \sigma_1(d)\sum_i=1^\lfloor\fracnd\rfloor \sum_j=1^\lfloor\fracmd\rfloor \sum_d|i, d|j \mu(d)$$

　　把 $x$ 挪到前面