因数分解算法周期查找算法（简化）

Posted 2022-06-05 zmzzzz

质因数分解的复杂是公认，这也是我们将他作为 RSA (一种广泛使用的公钥加密算法)的数学难题的原因。

\\(N=P*Q\\) (P、Q是质数)，n = length of N in bit

对于这么一个N，我们因数分解得到结果的时间复杂度是 \\(2^n\\) ，因为这个复杂，所以也有一堆的数学家在努力降低这个的时间复杂度，目前的优化结果的时间复杂度是 \\(2^ \\sqrt[3]n\\) 。

那么量子是否能够有更好的结果呢？

在讲因数分解之前，需要先提周期查找算法。

周期查找 Period Finding

周期查找的基础是 量子傅里叶变换 。

Input :

\\(f:(0,1,2,…,M-1) \\rightarrow S\\) for all x \\(f(x)=f(x+r)\\)

challenge ：

find r

condition:

1) f is 1-1 on period 在周期内，f是一个一一对应的函数

2）\\(M>>r\\) \\(M>2r^2\\)

3）M能够被r整除 （这是一个简化条件，稍后会有不简化的怎么办）

这个电路，我的输入是 $ \\frac1\\sqrt M \\sum_x=0^M-1 |x\\rangle |0\\rangle$

经过f(x)后，我的量子叠加态是 $ \\frac1\\sqrt M \\sum_x=0^M-1 |x\\rangle |f(x)\\rangle$

此时，如果测量了下面的 f(x)，那么上面的量子态会坍缩，会变成只有f(x)等于测量结果的x，显而易见，这是一个周期函数。

在 量子傅里叶变换 中，我们提到过傅里叶变换的第一个特点，当输入shift了，结果是不会变的。

如果我们输入的量子态的概率幅为 \\(\\alpha_0 , \\alpha_1, \\alpha_2, \\alpha_3,…, \\alpha_N-1\\) ，输出的量子态的概率幅为 \\(\\beta_0 , \\beta_1, \\beta_2, \\beta_3,…, \\beta_N-1\\)

则，当我们将输入的概率幅变为：\\(\\alpha_N-,\\alpha_0 , \\alpha_1, \\alpha_2, …, \\alpha_N-2\\) 输出的概率不变。(这里写得是概率，不是概率幅，概率是概率幅的平方)

也就是说，我测量的随机结果可能是这个周期当中的i个值，我也能shift成在第一个位置。

即，把 [0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 ……] (每个周期五个，第三个为1，其余为0) 变成 [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 …… ] (每个周期五个，第三个为1，其余为0) 。

他们经过傅里叶变换后的结果是一样的。

其实到这里，我们发现，我们测不测量f(x)其实都没有关系，因为在这前面所有测量结果对应的x，都是同一个周期的周期函数，因为shift的原因，他们傅里叶变换后的结果都是一样的。

那么，这么做的意义是？

量子傅里叶变换还有第二个特点：傅里叶变换可以改变周期函数的周期。

他可以把周期为r的函数，变成周期为 \\(\\fracMr\\) 的函数。

对最后的这个函数测量，得到的结果是 \\(\\fracMr\\) 的倍数，多测量几次就知道了 \\(\\fracMr\\) 的值。知道了这个值，很容易反推出r的值，周期查找完成。

如果没有简化条件呢？

即，M不是r的倍数。

那，假设测量结果为L，则找到一个最接近 \\(\\fracLM\\) 的分数 \\(\\fractr\\) ，唯一的要求是 \\(M>2r^2\\) 最后通过一种叫做continued fraction的方法找到r。

因数分解

一个例子：

问题：找N=21的因数。

解法：

step 1:

\\(2^0=1 (\\mod 21)\\) 除以21后余数为1

\\(2^1=2 (\\mod 21)\\)

\\(2^2=4 (\\mod 21)\\)

\\(2^3=8 (\\mod 21)\\)

\\(2^4=16 (\\mod 21)\\)

\\(2^5=11 (\\mod 21)\\)

\\(2^6=1 (\\mod 21)\\)

step 2:

\\(2^6-2^0=0 (\\mod 21)\\)

\\(2^6-1=0 (\\mod 21)\\)

\\((2^3-1)(2^3+1)=0 (\\mod 21)\\)

到这一步，我们发现了什么？

\\((2^3-1)(2^3+1)\\)是21的倍数，那么他的两个因数 \\((2^3-1)\\) 和 \\((2^3+1)\\) 一定和21有公约数。

gcd(21,7)=7

gcd(21,9)=3

gcd求最大公约数大家还熟悉吗？

比如说，我们相找21和15的最大公约数。

\\(21=15*1+6\\)

\\(15=6*2+3\\)

\\(6=3*2+0\\)

最大公约数就是最后一个不为0的余数，这里就是3。求最大公约数的算法很快，大概是在 \\(log N\\) 的级别。

那么现在的问题其实就是step1 ，找到函数 \\(f(a)=x^a \\mod N\\) 的周期，在上述例子中 \\(2^0\\) 和 \\(2^6\\) 取余相等，这就是一个周期，周期为6.

现在因数分解问题就全部转化为了周期查找问题。

而周期查找问题恰好，有量子加速的方法，前文已经提过了，不再累述，我们知道周期查找有一个前提条件是 \\(M> 2r^2\\) ，在这个例子中，我们不知道r是多少，这个是我们要求的，但是我们知道，r<N，所以直接让 \\(M > 2N^2\\) 就好。

变成电路图就是：

得到周期，然后经过 step 2 就是我们想要的因数分解。

参考资料：
Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 10