比赛NHOI 2019
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了比赛NHOI 2019相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
生动展示了自己有多菜
从T4开始
\(\mathrmT4\)
对于新给出的货币值\(New\)，我们先求出\(l=\mathrmlcm(New,50000)\)，那么，对于所要凑出的货币值\(N\)，问题就分解成了两部分：
对于\(\dfracNl\)的部分，答案就是\(\dfracl\max(New,50000)\)。
对于\(N \bmod l\)的部分，就可以直接用\(\mathrmdfs\)做。
\(\mathrmdfs\)很简单（两个决策）：
如果当前货币数\(x\)小于\(New\)，则返回\(\mathrmval(x)\)（就是直接用原来的货币凑成指定钱数的最少纸币数）
- 如果大于\(New\)，则取一个\(\min\)：
- \(\mathrmval(x)\)
- \(\mathrmdfs(x-New)+1\)（表示用了一张\(New\)）
\(\mathrmT5\)
这一题感觉很玄……
本质上就是一直找数量最多的那一种袜子去减……
\(\mathrmT6\)
地狱模式开启
考虑一个\(DP\)：用\(f(i,S)\)表示将前\(i\)个珠宝当中其颜色在集合\(S\)中出现过的珠宝排好所需的最少移动次数。
显然，对于每一个\(i\)，我们就考虑一个比\(i\)小的位置\(j\)，然后再枚举一种颜色\(c\)，将\([1,j)\)这个区间里面颜色是\(c\)的珠宝移到\([i,j]\)里面，再将\([i,j]\)当中颜色不是\(c\)的珠宝都移走。
这样，状态转移方程就已经出炉了：
\[f(i,S)=\min \ f(j,S-\c\ )+csum(1 \sim j-1,\c\)+csum(j\sim i,S-\c\) \\]
（这里用\(\sim\)的形式代替了前缀和，\(csum\)表示的是各个颜色集合的前缀和）
最终的答案就是\(f(n,2^m-1)\)。
这个\(DP\)的时间复杂度是\(O(n^2\times 2^m \times m)\)，可以捞到\(94\ pts\)
（原本没什么问题的，但是不知道为什么要把颜色都离散化了才能过……）继续优化并不太难，我们把上面的状态转移方程用前缀和的形式写出来：
\[f(i,S)=\min \ f(j,S-\c\ )+csum(j-1,\c\)+csum(i,S-\c\)-csum(j-1,S-\c\) \\]
把关于\(j\)的部分提出来：
\[\min \ f(j,S-\c\ )+csum(j-1,\c\)-csum(j-1,S-\c\) \\]
就会发现这个\(DP\)的转移具有单调性，又因为\(S\)和\(c\)也会影响转移，所以我们可以用一个数组\(Min(S,c)\)来表示到当前位置关于\(S,c\)的最佳决策。
因为\(j\)最大可以等于\(i\)，所以对于第\(i\)个位置，我们应该先维护\(DP\)本身，再把\(i\)这个位置的各个\(csum\)和\(f\)加入单调队列。
因为有了单调队列，所以不需要再枚举\(j\)，时间复杂度降为\(O(n\times 2^m\times m)\)，可以通过此题。
然而，
人民公敌\(lgj\)加大了数据，\(n\)变成了\(10^3\)。这……怎么办？
思路就是要反过来，用记忆化搜索。
还是用\(f(i,S)\)，但是\(i\)指的是后\(i\)个珠宝。
转移不是很难想：
- 如果\(c(i)\)这个颜色在\(S\)中没有出现，则直接转移到\(f(i+1,S)\)。
- 如果出现了，则分情况考虑。
- 要不我就把第\(i\)个珠宝扔到后面的某个位置，这样就可以转移到\(f(i+1,S)+1\)（因为扔一个只需要移一次）
- 要不我就再枚举一个\(j\)（像之前枚举\(j\)一样），将\([i,j]\)中不是\(c(i)\)的移出去，将\((j,n]\)中是\(c(i)\)的移进来。这样就转移到了\(f(i+1,S-\c\)+csum\)（这里因为懒把\(csum\)的细节省略了）
在没有任何优化的情况下，这个\(DP\)的时间复杂度就已经是\(O(n^2\times 2^m)\)的了（因为不需要再去枚举颜色）
但是，优化还是有的，答题思路还是和之前的一样，将和\(j\)有关的东西拉出来塞进单调队列里。
但是有重点！！！
一定要在转移了\(f(i+1,S)+1\)之后，再转移单调队列！
如果先转移了单调队列的话，单调队列的结果就会影响到\(f(i+1,S)\)！但\(i\)这个位置的决策不能影响\(i+1\)的决策！
当然还有一些细节，比如说可以维护一个链表，使得\(DP\)时可以快速找到下一个同一颜色的珠宝的位置，这些是后话了。
（神tm代码竟然越 来 越 短）
以上是关于比赛NHOI 2019的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章