背包整理(01背包，完全背包，多重背包，分组背包)（待更新）

Posted 2022-06-01 foxc

目录

• 01背包
  • 优化(空间)
• 完全背包
  • 优化
• 多重背包
  • 优化
• 分组背包

01背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

对于每个物品，我们有两种选择：把这个物品放进背包还是不放。
d[i][v]表示前i件物品，恰放入容积为v的背包时的价值总和。
状态转移方程为 \[d[i][v] = \max(d[i - 1][v],d[i - 1][v - w[i]] + c[i])\]

优化(空间)

\[d[v] = \max(d[v],d[v - w[i]] + c[i])(倒序枚举)\]

完全背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i种物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]，每种物品有无限多个。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

用f[i][j]表示前i种背包装入容量为j的背包中所可以获得的最大价值
对于一种物品，只有两种情况
　　情况一: 第i件不放进去，这时所得价值为:\[f[i-1][v]\]
　　情况二: 第i件放进去，这时，我们需要枚举放进去多少件，设为K，所得价值为：\[f[i-1][v-K*c[i]]+K*w[i]\]
状态转移方程为：\(\max \limits_0<=K<=v/w[i] f[i-1][v-K*w[i]]+K*c[i]\)

//最暴力做法
for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int v = V; v >= w[i]; v--)
        for(int k = 1; k <= v/w[i]; k++)
            d[i][v] = max(d[i - 1][v - w[i]*k]+c[i]*k,d[i][v]);
         

优化

\[d[v] = max(d[v],d[v - w[i]] + c[i])(正序枚举/对于每种物品循环1次)\]
可以感性理解一下

多重背包

把多重背包转化为01背包 也就是说本来每种物品有有限个，我们把这有限个物品拆成有限个不同的物品。然后就转化成了01背包。

    //a[i]是拆开后第i件物品本来的序号
    int cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= num[i]; j++)
            a[++cnt] = i;
        

优化

考虑二进制拆分

分组背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。这N个物品分成了若干个组，每个组里面的商品不可以同时选择。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。