2019年7月训练(陆)

Posted 2022-06-01 plzplz

模板：luogo P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

今天讲的时候有点跑神，现在卑微地来补习（菜）

LCA指的是最近公共祖先(Least Common Ancestors)。

最简单的算法无疑是从两个点一个个往上走，出现的第一个两个点都走过的点即为两点的LCA。

但是时间很长。

所以起用倍增，倍增的作用就是将两点上升所需的复杂度减低。

大致流程为：将deep不同的两个点跳到同一层，再跳到deep[lca-1]的那层，再向上跳一层就是lca了。

 

加速跳的方法就是每次向上跳的层数为2的i次方层，就是把层数转化成2进制的数，这样时间复杂度就变为log2（n）了。

 

之后要两个数组f[i][j](从i向上2^j层后到达的点)和deep[i](这棵树中i点的深度)。

deep[i]用一个dfs求得。

f[i][j]用了递推，f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]。初始化f[i][0]也可以在遍历整棵树的时候求得。

然后，两点再同时向上逼近。i从最高位开始枚举，假设两点分别为x,y，那么能向上跳的判断式为：

if （f[x][i]!=f[y][i]）

       x=f[x][i];
       y=f[y][i];   

 

就是如果两点向上跳了2^i层以后不到同一个点就接着往上跳。为什么这样？因为如果往上跳了2^i层，即使到了同一个点，它不一定是两点的LCA。

这样做，最终就会到达LCA的下面一层。随后，我们再将两点向上跳一层。LCA求得。

然后这个让我无比摸不着头脑的问题出现了：

为什么最终会到达LCA的下面一层？

我们假设从a,b点开始，往上跳2^j层，跳到同一点。不跳。往上跳2^(j-1)层，不跳到同一点，往上跳，分别到了A‘，B‘。显然，这种情况是一定会存在的。那么，从A‘，B’再往上跳到原来那个决定不跳的点，显然要跳2^(j-1)层。那么，那个点有可能是LCA，也有可能不是，对吧？所以，从A‘，B‘往上跳到LCA所需的层数，是≤2^(j-1)的。换句话来说，A‘，B‘到X的层数变成了一个j-2位的二进制数（可能会有前导零，也就是还可能会跳到点数相同的地方）。而此时，刚好枚举到j-2位。那么，前导零不减，再这么减下去，你发现，这个层数差最终会变成0，而你最终也会到达第X层。

大概就是你的叔伯（爸爸的兄弟）不是你的祖先，这里找的祖先必须是直系的。

为什么与X层数差最终会变成0？

首先我们证明，前导零不会被减去。假设与X层的层数差为x‘，而你正准备往上跳y层。由于LCA的层数是X+1，而LCA往上的点它都不会跳，对吧？（反而，如果LCA往下的点，也就是层数<=X，也就是y<x‘+1，它都会往上跳）所以如果y>=x‘+1，那么就绝对不会往上跳。

显然，当x‘的该位为0，且属于前导零，那么只需证明x‘+1<=y。而这个非常易证（假设y为10000，而x‘满足条件的最大值为01111）。所以保证，前导零是不会减去的。

接着我们证明，一旦枚举到了x‘的第一个为1的位数，这个1绝对会被减去。按照同样的方法，假设y为10000，而x‘满足条件的最小值为10000，所以y<x‘+1.

两点合在一起，前导零不会减去，枚举到一个1位就减去，最终这个层数差就会变成0.证毕。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define  maxn 500010
#include<queue>
using namespace std;

int f[maxn][21],head[maxn],deep[maxn],cnt,n,m,rt;
struct edge

    int v,next;
e[maxn<<1];

void add(int u,int v)

    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;


void dfs(int x,int fa)

    f[x][0]=fa;
    deep[x]=deep[fa]+1;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
    
        int v=e[i].v;
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,x);
    


void Init()

    for(int j=1;(1<<j)<=n;++j)
    
        for(int i=1;i<=n;++i)
        
            if(deep[i]>=(1<<j))
            
                f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
            
        
    


int query(int x,int y)

    if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
    int d=deep[x]-deep[y];
    for(int j=20;j>=0;--j) if(d&(1<<j)) x=f[x][j];
    if(x==y) return x;
    for(int j=20;j>=0;--j)
    
        if(f[x][j]!=f[y][j])
        
            x=f[x][j];
            y=f[y][j];
        
    
    return f[x][0];


int main()

    int u,v;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&rt);
    
    for(int i=1;i<n;++i)
    
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);
        add(v,u);
    
    
    dfs(rt,0);
    Init();
    while(m--)
    
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",query(x,y));
    
    return 0;

2019-07-3122:54:32