线性求解单应矩阵 Homography

Posted 2022-06-01 fanglai-you

定义：

2D单应：给定图像$\mathbbP^2$中的特征点集$\mathbfx_i$和另一幅图像在$\mathbbP^2$ 中对应的特征点集$\mathbfx_i^‘$，  将$\mathbfx_i$映射到$\mathbfx^‘_i$的射影变换。在实际情况中，点$\mathbfx_i$和$\mathbfx^‘_i$是两幅图像上的点，每幅图像都视为一张射影平面$\mathbbP^2$

$\mathbfx^‘_i=H\mathbfx_i$

 

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方法：直接线性变换DLT算法

我们首先讨论由给定 2D 到 2D 的四组点对应$ x_i   \leftrightarrow   x_i^‘$,确定H的一种简单的方法是线性算法$x^‘_i=Hx_i$，这是一个齐次方程,所以$\mathbfx_i^‘ 和$H\mathbfx^‘$不相等,它们有相同的方向,但是在大小上相差一个非零因子.

使用叉乘表示: $\mathbfx_i^‘\wedgeH\mathbfx^‘_i=0$

 

 将矩阵H的第j行记为$\mathbfh^jT$得

$$H \mathbfx_i=\beginpmatrix

\mathbfh^1T \mathbfx_i\\

\mathbfh^2T \mathbfx_i\\

\mathbfh^3T \mathbfx_i\\

 \endpmatrix$$